学生学习成绩统计指标设置的探讨
孔建勇1，孔璐2，孔建新3**
作者简介：孔建勇（1963.6-），男，讲师，教学管理
通信联系人：孔建新（1950.6-），男，高级统计师，研究方向：高斯分布. E-mail: kongfanjx@163.com
（1. 广东省中山中等专科学校 中山市 654211；
2. 广东省中山火炬开发区职业技术学院 中山市 538436；
3. 云南省会泽县老年科技工作者协会 654211）
摘要：学生学习成绩一般是按平均值作为评价的标准。在正态分布的条件下平均值具有很好
的代表性。但是在偏斜分布的条件下平均值已经偏移分布的峰值（期望值）点。若仅用平均
值来进行评价学习成绩的代表性水平则有一定的局限性。本文通过对期望值与平均值的对比
关系来讨论它们的异同，提出一个新的评价指标，同时引出一个新的教学能力指数公式来评
价教学质量的统计指标体系。
关键词： 成绩评价；平均值；期望值；标准值；标准差；教学能力指数
中图分类号：G473
 0 引言
目前考核学校教学质量的重要指标之一是学生的学习成绩，主要的统计指标是学习成绩
的平均值。在教学质量的管理中成绩属于单侧控制，控制的下限是及格分。一般来说满分如
是150，及格分则是90；满分如是100，及格分则是60。传统的观念认为学习成绩的频数服从
正态分布是正常的分布形态。在正态分布的条件下，应用平均值代表一般性的水平是不可质
疑的指标。但是在实际中，学习成绩的统计结果要拟合为正态分布则是非常罕见的现象。用
食品包装的计量容易说明，如方便面每袋的标准是100克，需要双侧控制，正负不超过2克。
标准要求在控制限的中心位置，要达到计量的标准要求非常容易，随机变量围绕100克的标
准波动呈正态分布。在质量管理中“人们在对生产过程进行全面分析后，发现只有非常少的
过程表现为正态分布的稳定状态。[1]”这传达了一个重要的信息：在统计实践中，当属于双
侧控制的条件下随机变量的频数服从对称的正态分布是非常少的现象。况且成绩分布属于单
侧控制。“采用描述统计的方法对学生成绩的总体分布进行了分析，发现成绩分布为非正态
 分布，并且用One-Sample K –S 检验法，和箱式图检验法确定其分布为负偏态分布。[2]”由此
说明学习成绩分布服从的是偏斜分布。将学习成绩满分规定为标准，标准值在控制及格分的
另一端的顶点，满分是最高的标准值。在单峰条件下成绩围绕分布的期望值（众数）波动，
而期望值在分布中的位置是不确定的，由此决定了学习成绩的频数分布有很大的随机性。在
正态分布的条件下平均值处在分布的峰值（期望值）点上，在平均值上聚众了最多的同学，
所以平均值具有最好的代表性。在偏斜分布的条件下，平均值偏移了分布的峰值点，平均值
上已经不具备最多的同学，此时平均值的代表性就被降低了。
以标准的满分为关注的焦点，成绩随机变量与标准值离散程度的变异指标是真正意义上
的标准差，基于此认识引出适合教学管理评价教学质量的教学能力指数公式，以计算教学过
程能力满足教学质量要求的统计指标是完善教学质量评价指标体系的一点建议。
本文根据前期的研究成果，应用高斯新分布的原理，探讨平均值与期望值的异同来说明
平均值存在的局限性，由此引入新概念的标准差，同时引出教学能力指数指标为设置新的学
习成绩评价指标体系的建议。就此新指标在教学中的意义展开初步的讨论。
1 平均值与期望值的异同剖析
“自然界的事物基本上都很简单，所有的基础原理及主要问题都可以用数学方式表达，这
是应用数学家的一个信仰。”这句话出自应用数学大师林家翘的一次演讲。他归国八年以来
绝少面对媒体，但几乎每一次出现在镜头前他都会强调这一点──应用数学的意义在于揭示
自然界和社会实际问题的规律。[3]在教学管理的统计实践中，学生学习成绩随机变量的频数
分布不仅服从正态分布还客观存在不对称的偏斜分布，需要用数学的方式来表达，高斯新分
布数学模型的提出正是建立了一个既能描述正态分布又能描述偏斜分布的数学表达方式，从
而应用高斯新分布来揭示学生学习成绩随机分布的一般规律问题。
从以下高斯新分布的定义与性质来剖析平均值与期望值的差异与等同。
高斯新分布的定义：若－∞＜μ＜∞，σ－ ＞0，σ+ ＞0 为三个实数，则由下列密度函数：
（ 2π σ－) -1 exp[- 2
2
2
( )
−
−
σ
x μ ]，x ≤μ
f(x) =
( 2π σ+ ) -1 exp[- 2
2
2
( )
+
−
σ
x μ ]，x ≥ μ （1）
由以上密度函数确定的随机变量X 的分布称为高斯新分布。记为N（μ，σ－，σ+）。
当σ－ ＝ σ+ 时呈正态分布；当σ－ ≠ σ+ 时呈偏斜分布。
从以上高斯新分布的定义中明确了其概念的外延包括正态分布和偏斜分布两种形态。其
内涵σ－ ＝ σ+ 及σ－ ≠ σ+ 确定了数学表达式中所反映的高斯新分布的本质属性。[4]正好拟
合学生学习成绩的分布并达到理想的优度。
高斯新分布的性质：
（1） 当σ－＝σ+ 曲线f（x）关于直线x = μ 对称，呈正态分布，有：σ－＝σ+＝σ ，对应
的就有：σ 2
− ＝σ 2
+ ＝σ2 ；
（2） 当σ－≠σ+ 曲线f（x）关于直线x ＝ μ 不对称，呈偏斜分布，有：σ－≠σ+≠σ ，对应
的就有：σ 2
− ≠σ 2
+ ≠σ 2 ；
（3） 当x ＝ μ 时，f（μ）＝（ 2π σ－）-1 或f（μ）＝（ 2π σ+）-1 是f（x）的最大值；
 （4） 在x ＝ μ－ σ－，x ＝ μ+ σ+ 处曲线有拐点，当x→±∞时，f（x）以x 轴为渐近线；
（5） μ 是描述ξ 的集众位置，σ－，σ+ 分别是描述期望值左右两边离散程度的参数。
以上对高斯新分布密度函数f（x）性质的描述中，性质（1）以限制条件σ－＝σ+ 确定描
述了正态分布。性质（2）以限制条件σ－ ≠ σ+ 确定描述了偏斜分布。性质（3）（4）（5）
则描述了正态分布和偏斜分布共同具有的性质。而性质（5）正好显示出期望值具有最佳的
的统计代表性问题，在以下对期望值的定义可以得到有效的证明。
从以上高斯新分布的定义和性质表明，当限制条件σ－ ＝σ+ 时，（1）式N（μ，σ－，σ+）
还原为以下（2）式N（μ，σ2）。
f（x）＝ ( 2π σ ) -1 exp[-
2
2
2
( )
σ
x − μ ]，－∞＜ x ＜∞ （2）
由满足限制条件σ－ ＝σ+ （1）还原为（2）式就可以说明高斯新分布提出所依据的是
高斯分布的原理。为了剖析平均值与期望值的异同提供了理论依据，对此需要首先对期望值
进行定义。
期望值（expected value）：随机变量的频数分布在单峰的条件下是分布曲线最大值点上
的取值。满足随机变量x ＝μ 时, f (μ) ＝ ( 2π σ－)-1 或f (μ) ＝ ( 2π σ+)-1 为f (x)最大值的条
件。符号记为μ 。
以上期望值的定义是依据高斯新分布性质（3），它反映了期望值μ 的本质属性，而与
平均值x 只有在特定的正态分布的条件下有关系，在偏斜分布下则毫无关系。就是说当x = x
时，f（ x ）＝ 2π σ－ ) -1 exp[- 2
2
2
( )
−
−
σ
x x ] 或f（ x ）＝ ( 2π σ+ ) -1 exp[- 2
2
2
( )
+
−
σ
x x ]
不一定是f（ x ）的最大值。
由此容易剖析它们之间的关系：在正态分布的条件下，对称使平均值x 与期望值μ 都在
分布曲线的峰值点上，它们是等价的，即：x ＝μ 。在偏斜分布的条件下，不对称使平均值
偏移分布曲线的峰值点，而期望值仍然在分布曲线的峰值点上，所以它们是不相等的，即：
x ≠μ 。就是说，随机变量的频数分布在满足正态分布的条件下，平均值无疑是代表性最佳
的指标。在不满足正态分布的条件下，平均值的代表性必然受到影响。
以上是从平均值与期望值在不同的分布条件下其位置特征不同，其关系也不同。这是从
它们的位置特征方面来进行的剖析。还可以从离散特征来进行剖析。
在正态分布的条件下，由于平均值与期望值等价，所以随机变量关于平均值离散程度的
变异指标──平均差[5]与随机变量关于期望值离散程度的变异指标──期望差同样等价。又由
于对称，左右平均差和左右期望差相等。平均值或期望值分别加减平均差或期望差均是分布
曲线的拐点。
在偏斜分布的条件下，由于平均值与期望值位置特征不同其值不相等，所以随机变量关
于平均值离散程度的变异指标──平均差与随机变量关于期望值离散程度的变异指标──期
望差显然完全不同。又由于不对称，左右平均差，左右期望差左右各不相等。这就是平均值
与期望值的差异带来离散程度完全不同的根源。偏斜分布的客观存在是提出左右平均差、左
右期望差、左右标准差新概念的理由。
还有，期望值不受极端值的影响，而平均值则受极端值的影响。这是它们的又一显著区
别。
从以上剖析得出一个重要的结论：平均值与期望值作为位置特征值在不同的分布条件下
 具有不同的含义。在正态分布的条件下是等价，在偏斜分布的条件下存在差异。
高斯新分布数学模型的建立而引出新概念，涉及到本文相对应的新术语，请参见《高斯
新分布数学模型的建立与推论》[4]和《关于对标志变异指标概念的重新认识》[5]的详解。
2 平均值指标存在局限性的探讨
以上所述，平均值在不同分布的条件下其代表性是不同的。以教学中学生的考试学习成
绩的分布来探讨平均值的局限性。
学生考试成绩数据分布状况统计计算列表如下：
表1 学生成绩数据分布统计表
Tab. 1 Distribution of student performance data statistics tables
项目 成绩1 按升序计算（第1 部分） 成绩2 降序计算（第2 部分）
序 频
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