高速公路收费站服务台的优化配置研究(2)_代写论文

由上述求解结果可知，满足单方向最优经济费用目标下实际运行的服务台数量 [ ] *
i m 或130 [ ] 1 *  i m 与该方向车辆的平均到达率、单个服务台的平均服务率、单个服务台开放单位时间的平均费用以及顾客在排队系统中逗留单位时间的平均费用有关，并随车辆的平均到达率和顾客在排队系统中逗留单位时间的平均费用的增大而增大，随单个服务台的平均服务率和单个服务台开放单位时间的平均费用的增大而减小。因此，可以根据高速公路路口某个时段的车辆到达率来确定单方向服务台的配置数量，从而使得高速公路收费站单方向的经济费用达135 到最小。
3.2 双方向经济费用分析
由于高速公路收费站进口和出口服务台总数m是有限的，因此，当mmm21时，可以分别以单方向的经济费用最优为目标来调节各方向对应的服务台运行的最优数量，总而实现高速公路收费站系统总体经济费用最优的目标。但是，当mmm21时，仅以单方140 向的经济费用最优为目标来实现收费站整体双方向的最优配置显然是不合理的，此时需以高

速公路收费站的整体双方向的最优经济费用为目标来整合资源，根据不同方向的车辆到达率对单方向最优服务台数量进行调整，以实现高速公路收费站的总体经济费用最优的目标。
设高速公路收费站进口方向减少服务台数为x，出口方向减少服务台数为y，那么调整后进口和出口方向的实际运行服务台数分别为xm1和ym2，且调整后必须使系统资源145 得到充分利用，即满足mymxm21。同理，根据im个M/D/1排队模型理论，进口和出口方向单个服务台中的平均顾客数分别可以表示为：
)()(12)(11112111xmxmxmLs，（7）
)()(12)(22222222ymymymLs，（8）
其中，11)(xm且22)(ym。那么高速公路收费站的总体经济费用可以表示150 为：
))(())((),(2211ymCLCxmCLCyxTCsswssw. （9）
将（7）式和（8）式带入（9）式，整理可得双方向经济费用模型如下：
swwmCymCxmCyxTC2222211121])[(2])[(2),(min 155
mmmyxts21..
0,yx
对此模型构造拉格朗日函数如下：
)(])[(2])[(2),,(212222211121mmmyxmCymCxmCyxLsww （10） 160
分别对（10）式中的x、y和求偏导并令其等于零，得：
0])[(221121xmCxLw，（11）
0])[(222222ymCwyL，（12）
021mmmyxL. （13）
联立（11）—（12）式，可求出： 165

mmx2111，（14）
mmy2122. （15）
则基于双方向经济费用模型，高速公路收费站双方向服务台配置的最优数量分别为：
mxm2111，（16）
mym2122. （17） 170
因为服务台数必须为正整数，那么以双方向总体经济费用最优为目标，高速公路收费站进口或出口方向运行服务台的最优配置的整数解应该满足以下结论：
（1）当)1][],([)][,1][(2121ymxmTCymxmTC时，高速公路收费站运行服务台的最优配置为])[,1]([21ymxm；
（2）当)1][],([)][,1][(2121ymxmTCymxmTC时，高速公路收费站175 运行服务台的最优配置为)1][],([21ymxm。
由此可知，以高速公路收费站的整体经济费用为目标时，单方向的最优运行服务台数量与收费站进口和出方向的车辆到达率i
 （i=1, 2）和系统中的服务台总数m有关，双方向运行服务台的最优配置之比等于各自方向上车辆到达率之比。那么，根据不同时段不同方向上的车辆到达率，就可以按比例确定出高速公路收费站进口或出口方向服务台的运行数量，从180 而实现该系统的整体经济费用最优的目标。
4 算例分析
为了说明上述结论，根据居民生活水平和高速公路收费站的服务水平，这里给出如下参数值：m=12，μ=180个/时，Cw=10元/时，Cs=20元/时，对高速公路收费站服务台的最优185 配置进行数值分析，结果见表3。本算例中时间单位取为小时，费用单位取为元。
表3. 高速公路收费站服务台的单方向最优配置
Tab. 3 Optimal allocation of service desks in the single direction at highway toll station i 
mi
TC(mi)
mi*
mi*的整数值
min TC(mi)
500
3
261.389
4.1667
4
139.343
4
139.343
5
145.139
6
159.751
700
4
799.444
5.8333
6
194.708
5
206.944

6
194.708
7
203.194
900
6
295.000
7.5
8
251.667
7
252.500
8
251.667
9
261.250
1100
8
319.967
9.1667
9
305.748
9
305.748
10
309.127
11
319.306
以i
 =500辆/小时为例，由表3可知，单方向最优经济费用下的服务台数为*im=4.1667个，但是由于系统中运行的服务台数必须是整数，则服务台的最优配置可以为190 51][4][**iimm或；又因为TC(4）=139.343元<TC(5）=145.139元，那么，服务台的最优配置为4][*im，即在高速公路收费站进口或出口方向的车辆到达率在 i
 =500辆/小时时，单方向运行4个服务台可以使此方向的经济费用最小。同理可得，当 i
 =700辆/小时、
i 
=900辆/小时以及 i
 =1100辆/小时时，单方向服务台的最优配置分别为61][*im、81][*im以及9][*im，相应的经济费用分别为：194.708元、251.667元和305.748元。 195
从高速公路收费站双方向经济费用分析角度出发，若 m m m  
1 2
，此时系统中的服务台数能够同时满足进口或出口方向最优运行服务台数量，那么就可以根据各自方向的车辆到达率和相对应方向的经济费用目标（如表3的计算结果），分别求出各自方向的最优运行服务台数量，即是实现整体经济费用最优目标的最优配置。由表3的计算结果知：当系统中进口和出口方向的车辆到达率分别为1=500辆/小时、2=700辆/小时时，首先根据单方向200 经济费用模型求出最优运行的服务台数量为4和6，且两者之和小于服务台总数12，那么进口方向开放4个服务台，出口方向开放6个服务台就是此系统中运行服务台数的最佳配置，收费系统的总体经济费用为334.051元。同理，当系统中进口和出口方向的车辆到达率分别为 1  =900辆/小时、 2  =500辆/小时时，那么进口方向开放8个服务台，出口方向开放4个服务台就是此系统中运行服务台数的最佳配置，收费系统的总体经济费用为391.010元。 205
当系统中的服务台数不能同时满足单方向经济费用目标下进口或出口方向的最优运行服务台数量，即mmm21时，可以基于系统的总体经济费用最优为目标建立的双方向经济费用模型确定双方向运行服务台的最优配置，具体结果如表4所示。
表4. 高速公路收费站服务台的双方向最优配置
Tab. 4 Optimal allocation of service desks in both entrance and exit directions at highway toll station 210

215
220
225
当 1  =500辆/小时、 2  =1100辆/小时时，由表4可知，在有限资源下双方向经济费用模型确定得到的收费站进口和出口方向的最优服务台组合为xm1=3.75和230 ym2=8.25，考虑到取整要求，那么可以得到实际情况下的最优服务台组合为（4,8）或（3,9），通过比较可知)9,3(8,4TCTC，则在此运行环境下进口方向开放4个服务台和出口方向开放8个服务台是此系统中运行服务台数的最佳配置，收费系统的总体经济费用为459.311元。同理，当 1  =700辆/小时、 2  =900辆/小时时，进口方向开放5个服务台和出口方向开放7个服务台是此系统中运行服务台数的最佳配置，总体经济费用为459.444元。 235
5 结论
本文从高速公路收费站的经济费用分析的角度出发，建立了以服务台单位时间的费用以及顾客在系统中逗留单位时间的费用之和为目标函数，基于进口和出口方向的车辆到达率来确定最优服务台配置的高速公路收费站的排队模型。一方面，考虑在系统中总的服务台数相240 对宽裕的情况下，进口和出口方向均可以按照各自方向的车辆到达率给出最优经济费用下的服务台运行数量的最优配置；另一方面，在资源即服务台数相对有限的情况下，通过对系统总体经济费用的最优分析，根据收费站进口和出口方向的车辆到达率之比来确定双方向运行服务台的最优配置，以利用有限的资源实现最优的经济费用目标。
245
[参考文献] (References)
1
500
700
2
1100
900   m  x 1
3.75
5.25   m  y 2
8.25
6.75
])[,1]([21ymxm
(4,8)
（6,6）
])[,1]([21ymxmTC
459.311
489.708
)1][],([21ymxm
(3,9)
（5,7)
)1][],([21ymxmTC
567.137
459.444

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