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L ≥ m 。定义以下符号： i t d , ： t 期内在零售商i 处发生的终端顾客需求之和（下文中，我们用o i t d , 和u i t d 160 , 分别表 示供应商订货时已知和未知i t d , ）； i d ：零售商i 的订单，显然有di di m , = ； ( ) m i ,i , ,i π = 1 2 … ：订货周期内m 个零售商的补货次序； (a) 供应商订货情况示意图 期数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 零售商 2 3 1 2 3 1 2 补货次序 订货周期 评估周期 3 货品到达货品到达 订货 订货 1 L = 2 供应商订货时 已知顾客需求 构成零售商2 订单 的终端顾客需求 (b) 零售商2 订货情况示意图 订货 订货 订货 l = 1 l = 1 l = 1 供应商订货时 未知顾客需求 构成零售商2 订单 的终端顾客需求 货品到达 ( ) ( o ) i m n o i m o i m n d d d , , 1 , 1 , , , 1 2 − − + Ω π = … ：供应商订货时观察到的终端顾客需求样本路径； (π ) 165 Dj ：供应商在评估周期第j 期已经收到的过去L + j 个零售商订单之和，即 ( ) Σ ( ) + = = L j j k ik D d 1 π π ； (π ) j Θ ： 供应商订货时， (π ) Dj 中已知终端顾客需求之和， 即 ( ) min( , ) 1 k, 1 L j n o j k im k π d + = − + Θ =Σ ； (π ) j Ξ ： 供应商订货时， (π ) Dj 中未知终端顾客需求之和， 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) min , 1 k, 1 min , 1k, L j nu L j u j j j k i k k L j n i m π Dπ π d d + + = − = + + 170 Ξ = −Θ =Σ +Σ ； ( (π )) Fj x | Θ j ： (π ) Dj 的累积概率分布； ( (π )) Cj x | Θ j ：对于给定基准库存水平x ，供应商在评估周期第j 期期望库存成本； SC(x | Ω(π ))：对于给定基准库存水平x ，供应商在评估周期内期望总库存成本； S(Ω(π ))：对于给定终端顾客需求样本路径Ω(π )，供应商的最优基准库存水平； 175 SC(π )：供应商在评估周期内的最低期望总库存成本； π * ：对供应商最优的零售商补货次序。 在图1 中，订货周期内的零售商补货次序是π = (1,2,3)。因为零售商2 参与信息共享， 所以当供应商在第4 期期初订货时，已知第5 期零售商2 订单中的两期终端顾客需求，即 2 2,2 2,1 d =do +du。假设零售商1 也参与信息共享而零售商3 未参与，类似地我们可以写出第 4 期零售商1 订单1 1,3 d =do 和第6 期零售商3 订单3 3,3 180 d =du ，因此供应商订货时观察到的终 端顾客需求样本路径为( ) (do d o ) Ω π = 1,3, 2,2 。需要注意的是，第8 期零售商2 订单由第5 至7 期发生的终端顾客需求构成。因为供应商在第4 期期初订货时未知这些需求信息，所以第8 期零售商2 订单2 2,3 d =du 。相应地，第7 期零售商1 订单1 1,3 d =du 。基于各期零售商订单， 我们可以进而写出(π ) j Θ 、(π ) j Ξ 以及(π ) Dj 的表达式。 185 因为供应商在不同订货周期内观察到的终端顾客需求样本路径不同，所以不同订货周期 内对供应商最优的零售商补货次序很可能不同。如果供应商在每个订货周期内都调整零售商 补货次序，那么各零售商的订货窗口将不稳定。为应对这一不稳定性，零售商将不得不储备 更多的安全库存，进而影响供应商。实践中，分销系统上下游都倾向于采用稳定的补货次序。 基于稳定的特定补货次序，供应商订货时依据已知的终端顾客需求决定最优基准库存水平， 190 即供应商库存问题为 ( ( )) ( ( )) { } { ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) } 1 1 ( ) 1 ( ) min | | ( ) ( ) j j m x j j j m j j j m j j j j j SC x C x E x D H D x P E x H x P π π π π π π π π π π = + + = Ξ + + = Ξ Ω = Θ = ⎡⎣ − ⎤⎦ +⎡⎣ − ⎤⎦ = ⎡⎣ − Θ +Ξ ⎤⎦ +⎡⎣ Θ +Ξ − ⎤⎦ Σ Σ Σ 。 （3-1） 很容易证明，SC(x | Ω(π ))是关于x 的凸函数。对于所有j ，如果( (π )) j j F x | Θ 是关于 x 的连续函数，那么一阶最优条件是 ( ( ( )) ( )) ( ( ) ( ( )) ( )) ( ) 1 1 | / m m jj j j j j F S π π P π S π π mP P H = = Σ Ω Θ =Σ Ξ ≤ Ω −Θ = + 。 如果( (π )) j j 195 F x | Θ 是关于x 的离散函数，那么S(Ω(π ))为满足 ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) 1 1 | / m m j j j j j j F x π P π x π mP P H = = Σ Θ =Σ Ξ ≤ −Θ ≥ + 的最小非负基准库存水平。 随着供应商订货时观察到的终端顾客需求样本路径不同，供应商在不同评估周期内的期 望总库存成本SC(S(Ω(π ))| Ω(π ))也会不同。长期而言，供应商在评估周期内的最低期望总 库存成本为( ) ( ) SC E SC(S ( ( )) | ( )) π π π π Ω 200 = Ω Ω ，而对供应商最优的零售商补货次序 * argmin SC ( ) π π = π 。 3.3 信息共享的影响 为凸显信息共享机制的价值，我们将传统分销系统作为比较基准。如前所述，传统分销 系统也可被视为参与信息共享的零售商个数为零的特殊情况，即n = 0 。为方便比较，下文 205 中我们用上标表示参与信息共享的零售商个数。 直观上讲，已知零售商订单越多，供应商库存成本越低。 命题1： （1）对于任意n ≥ 0 ，我们有SC0 (π 0*) ≥ SCn (π 0* ) ≥ SCn (π n* ) ； （2）对于任意2 1 n ≥ n ，我们有SCn1 (π n1*) ≥ SCn2 (π n1* ) ≥ SCn2 (π n2 * ) 。 210 命题1 表明，在未调整零售商补货次序的情况下，实时获知终端顾客需求已能降低供应 商库存成本。然而，在应用信息共享机制前后，对供应商最优的零售商补货次序可能发生变 化。只有对零售商补货次序进行适当调整，才能完全实现信息共享机制的价值。 命题2：如果n≤L+1 ，那么( ( )) ( ) 1 k, 1 n o k i m k S π Sπ d = − + Ω = +Σ ，这里S (π ) 是一个与 样本路径Ω(π )无关的非负常数。 215 命题2 表明，随着供应商订货时观察到的终端顾客需求样本路径不同，其最优基准库存 水平会作相应调整。特别地，当参与信息共享的零售商个数不大于供应商收到货品的期数时， 最优基准库存水平是一个非负常数与供应商订货时已知终端顾客需求之和。例如，当终端顾 客需求服从正态分布时，供应商最优基准库存水平也表现为正态分布。 4 对供应商最优的零售商补货次序 220 当零售商订单服从凸序或随机序排列时，我们分别刻画对供应商最优的零售商补货次序 结构特征。有关凸序和随机序的相关知识可参考Shanthikumar 和Shaked（1994）[25]。禹海 波（2005）[26]曾运用这方面知识对具有不确定性产出库存系统进行随机比较。 4.1 订单波动性不同 定义1： X 和Y 是定义于实数集合R 上的两个随机变量。如果E[ f (X )]≤ E[f (Y )]对 所有定义在R 上的凸函数f (⋅)都成立，那么称X 按凸序比Y 小(记为X Y cx 225 ≤ )。 凸序常用来比较随机变量的不确定性程度，如Müller 和Stoyan（2002）[27]表1.1 中所 示：当随机变量X 和Y 满足（1）E(X ) = E(Y ) ；（2）Var(X ) ≤ Var(Y) ；（3） X 和Y 的概率密度函数同属于正态分布、对数正态分布、贝塔分布、伽马分布、威布尔分布或者平 均分布中的一种时， X Y cx ≤ 成立。 命题3：如果i cx m 230 d ≤ d ，i = 1,...,m −1，那么供应商一定选择零售商m 参与信息共享。 命题3 表明，只要供应商建立信息共享渠道，订单波动性最大的零售商一定会被选择参 与。这是因为信息共享机制的作用就在于消除零售商订单的不确定性，而选择订单波动性最 大的零售商参与显然能够最大化该作用。 命题4：如果+1 ≤ i cx i d d ，i = 1,...,m −1，那么对于未参与信息共享的零售商，订货周 期内对供应商最优的零售商补货次序( ) n n m i ,i , ,i 235 +1 +2 … 按凸序升序排列。 命题4 给出的最优补货次序有助于降低供应商面对的零售商订单不确定性。因为零售商 订单是以叠加形式出现在供应商库存成本函数（3-1）中，为降低订单叠加后的不确定性， 供应商会将未参与信息共享的零售商订单按照凸序升序排列。 根据上述命题，我们可以得到以下推论。 命题5：如果+1 ≤ i cx i 240 d d ，i = 1,...,m−1，且仅有一个零售商参与信息共享（即n = 1）， 那么订货周期内对供应商最优的零售商补货次序为π * = (m,1,2,…,m −1)。 当两个或以上零售商参与信息共享时，供应商订货时仅能获知订货周期内第2 个位置及 之后零售商的部分订单信息（例如图1 中零售商2 的情况）。从消除订单不确定性的角度考 虑，供应商倾向于选择订单波动性大的零售商参与信息共享，并按照凸序降序排列；但是从 245 降低订单未知部分叠加后不确定性的角度考虑，供应商又倾向于将这些订单按照凸序升序排 列。更为复杂的是，当n ≥ L +1时， L 个参与信息共享的零售商订单将会在供应商库存成 本函数（3-1）中出现两次，且供应商订货时完全未知其第二次出现的订单（例如图1 中零 售商2 的情况）。相对于仅在（3-1）中出现一次的订单，在权衡这些订单的最优补货次序 时，降低订单未知部分叠加后不确定性的重要度要高于消除订单不确定性的重要度。在上述 250 因素综合作用下，不难理解当2 ≤ n ≤ m 时最优补货次序不存在类似推论1 的简单结构。 4.2 订单大小不同 定义2： X 和Y 是定义于实数集合R 上的两个随机变量。如果E[ f (X )]≤ E[f (Y )]对 所有定义在R 上的增函数f (⋅)都成立，那么称X 按随机序比Y 小(记为X Y st ≤ )。 随机序常用来比较随机变量的大小，如Müller 和Stoyan（2002）[27]表1.1 中所示：当 255 随机变量X 和Y 满足（1）E(X ) ≤ E(Y ) ；（2）Var(X ) = Var(Y) ；（3） X 和Y 服从正 态分布时， X Y st ≤ 成立。 为方便表述，以下命题中我们考虑评价周期内的零售商补货次序( ) 1 2 , , , m π = i 学术论文网Tag：代写论文 代写代发论文 代发论文 |
