基于滞后虚拟变量分位点回归模型的条件
VaR 估计
裴培，贺壬癸，严定琪**
作者简介：裴培，（1988-），女，汉，河南许昌人，兰州大学数学与统计学院研究生，主要研究方向：风
险管理与金融工程
通信联系人：严定琪，男，兰州大学数学与统计学院副教授，主要研究方向：金融工程. E-mail:
yandq@lzu.edu.cn
5 （兰州大学数学与统计学院，兰州 730000）
摘要：在大多数文献中，分位点回归模型是线性的，但是在实际中，线性的分位点回归模型
已经不能很好地满足需要，为此本文提出了含有滞后虚拟变量的分位点回归模型，并应用此
模型分析了流动性风险指标条件下的条件VaR 。经过实证分析发现，含有二阶滞后虚拟变
量的分位点回归模型模拟数据得到的结果比线性分位点回归模型和基于流动性风险指标的
10 虚拟变量分位点回归模型模拟得到的结果更好。而且，由条件 VaR 的事后检验知，含有二
阶滞后虚拟变量的分位点回归模型能更好的估计条件VaR 。
关键词：线性分位点回归模型；含虚拟变量的分位点回归模型；含滞后虚拟变量的分位点回
归模型；条件VaR；事后检验
中图分类号：F224.0
 0 引言
在险价值简称VaR (value at risk)，是指在一定的概率水平下(置信度) 某一金融资产或证
券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失。计算VaR 的方法主要有三种典型方法：
历史模拟法、分析方法(方差--协方差方法)、Monte Carlo 模拟法。
35 传统的 VaR 理论一般假定收益率服从某个分布，然后在此基础上进行 VaR 的研究，
然而市场是时刻变化的，从而使得收益率的分布产生变化，这时传统的 VaR 理论就受到限
制，为了克服这种限制，引入了动态的 VaR 模型计算，如基于GARCH 族模型的 VaR 计
算[1]。在现在的风险管理研究中，可以看出把重点都放在了研究单一风险的测量，而各种风
险是相互作用的，那么就需要研究在某种条件下某变量对某风险度量的影响，这就是条件
VaR 的研究。但是要计算条件 VaR ，按传统的理论需要解决条件分布的问题，如傅强等[2] 40
给出了基于极值理论和Copula 函数的条件 VaR 计算，因此本文给出了另外一种估计条件
 VaR 的方法，该方法对条件分布不作任何的假定和估计，而是应用分位点回归方法直接得
到收益率在某置信水平下的分位点值，这样就避免了对分布的假设。在实际的生活中，一般
的分位点回归模型都是线性的，但是已不能很好地满足需要，本文提出了含有滞后虚拟变量
45 的分位点回归模型，并由此分析了流动性风险指标条件下的条件 VaR 。
1 分位点回归方法介绍及流动性风险下的条件VaR
1.1 分位点回归方法介绍
分位点回归模型是由Koenker 和Bassett 于1978 年提出的[3]，是对传统的分位点方法
的一种扩展。分位点回归模型假定被解释变量的分位点与解释变量之间满足线性关系，并通
50 过模型参数的估计，得到分位点的的表示形式。假定X 为K×1 维随机向量，{x1,x2,…,xn}
为其样本，其中xi的第j 个分量为xi,j(i=1,…,n;j=1,…,K)。条件分位点的估计可以相应
的转化为下面最小化问题的解: ˆ( ) argmin [ ( )| ] R Q E Y X x ξ τ τ ρ ξ ∈ = − = ，其中
( 0)
1 0
u 0 0
u
I
u <
⎧ <
= ⎨⎩ ≥
(1)
( 0) ( ) ( ) u u I u τ ρ τ < = − ,τ ∈(0,1)。 类似于一般的线性模型，分位点回归模型可以表示
为: i i i y x u τ τ = ′β + 。这里对误差项i u55 τ 的分布不做过多假定， 只需要满足条件
( | ) 0 i Q u x τ τ = 。为了满足可识别性，即无条件分位点也可以由该模型得到，一般假定解释
变量X 的第一个分量恒等于1，即,1 1 i x = 。
同样类似于线性模型参数估计的最小二乘方法，该模型的参数估计问题可以用最小化方
法得到。假定有数据集{ } 1 , n
i i i y =
x ，可以通过最小化
1
( )
n
T
i i
i
y x τ τ ρ β
=
60 Σ −
得到参数τ β 的估计值ˆ
τ β 。但是该模型中的参数没有显示解， 因为函数
( 0) ( ) ( ) u u I u τ ρ τ < = −
在原点是不可微的。但是利用portnoy 等[4]提出的解决线性问题的新方法—内点算法，
该最小化问题可以得到解决。得到参数τ β 的估计值ˆ
τ β 以后，线性假设下的条件分位点函数
即为：Q (Y|X x) x ˆ τ τ 65 = = ′β 。
1.2 流动性风险下的条件VaR
假定t Y 是某债券或者投资组合的价格过程， t X 是状态过程或者是信息量，在时期[t,t+h]
中，组合的对数收益率为1 ln( / ) t t t r Y Y− = 。按照 VaR 的定义，在该时期内置信水平为
P(0<p<1)的VaR 为( ) inf { : ( ) 1 } t v t V p = v P r ≤v ≥ −p 。假定t r 在t X 条件下的分布函数为
( | ) t F⋅ X ，那么条件VaR 被定义为1(1 | ) t F− −pX ，这里1(1 | ) t F− −pX 为( | ) t 70 F⋅ X 的反函
数或者称为条件分位数函数，可见确定条件 VaR 实际上就是确定条件分位点的值，本文通
过分位点回归方法直接计算出确定条件分位点的值，避免了条件分布的假设。
 流动性影响市场价格的不确定性，存在着风险，其中影响流动性主要是买卖报价差和成
交量，价差越小表示立即执行交易的成本越低，市场流动性越好，流动性风险就越小。另一
75 方面，成交量可以反映大额交易是否可以立即完成以及对价格产生的影响。本文采用了蒋涛
等给出的流动性指标[5]，流动性风险测度指标为,max ,min ,min ( )/ ( ) t t t t L P P P V = − ，其中,max t P 代
表日最高价格， ,min t P 代表日最低价格，V 代表当日成交金额。t L 越小表示流动性越好，流
动性风险就越小。本文为了分析方便，将得到的t L 进行了刻度处理，处理后的数据范围是
0.077–3.87。
80 2 含滞后虚拟变量的分位点回归模型
滞后变量考虑了时间因素的作用，使静态分析的问题成为动态分析，这样研究计算出的
动态条件 VaR 更能满足需要。在实际生活中，收益率不仅与现在的流动性风险有关，过去
时间的流动性风险也影响着收益率，经过实际数据的分析计算得出二阶最优，因此本文考虑
的是二阶的滞后虚拟变量的分位点回归模型。虚拟变量表示的是收益率的正负，在模型中加
85 入虚拟变量说明在相同的市场信息(如流动性风险)的冲击下收益率的正负对市场风险条件
VaR 的影响，根据现有知识，知道收益率为正和为负时，相同的市场信息的冲击对市场风
险的影响是有所不同的。因此本文在线性的基础上加入了虚拟变量和滞后变量，以求能更好
的拟合数据和估计条件 VaR 。
在分位点回归模型中假设了条件分位点和解释变量之间满足线性关系，这种情况有时不
90 能很好的满足现实情况，据此，本文考虑含有滞后虚拟变量分位点回归模型来计算条件
VaR ，对条件分布不做任何假定和估计，这样就避免了分布是正态等假设[6]，其中虚拟变
量表示收益率为正或者为负，滞后解释变量表示解释变量的过去值对被解释变量的现在的影
响。本文采用的含滞后虚拟变量的分位点回归模型同时考虑了截距和斜率变化的情形，采用
的模型是：
t (rt0) (rt1 0) t (rt 0) t t 1 t 2 r I I aL I LbL cL uτ α β γ η
< −< < − − 95 = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (2)
这里对误差项uτ 不做过多假定，只需要满足条件( | ) 0 i Q u x τ τ = 。于是，条件分位点为：
( 0) ( 1 0) ( 0) 1 2 ( | ) t t rt rt t rt t t t Q r L I I a L I L b L c L τ α β γ η
< −< < − − = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
同时，与本文做比较的还有线性分位点回归模型和含虚拟变量的分位点回归模型，线性
分位点模型中假定其中的一个因素为流动性风险 Lt ，为了得到模型的截距项，令另外一个
100 影响因素恒为1，则线性分位点模型如下：
t 1 1t r a bL uτ
= + + (3)
于是条件分位点为1 1 ( | ) t t t Q r L a bL τ = + 。不考虑滞后情况的含虚拟变量的分位点回归
模型中也同时考虑了截距和斜率变化的情形，则模型如下：
t 1 1 (rt0) 1 t 1 (rt0) t r I L I L uτ α β γ η < < = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (4)
于是条件分位点为1 1 ( 0) 1 1 ( 0) ( | ) t t rt t rt t Q r L I L I L τ α β γ η < < 105 = + ⋅ + ⋅ + ⋅ 。下文主要是通过实
证分析来对这三个模型作比较，分析得出哪个模型更能真实的描述实际数据和预测风险。
3 实证分析
众所周知，在经济领域中，许多变量是相互影响的，例如收益率和风险测度之间存在关
 系，本文中的风险测度是流动性风险，分析了单只股票的流动性风险，并且在流动性风险的
110 基础上研究了收益率的条件 VaR 值，以期望得到条件 VaR 和流动性风险之间的关系。
3.1 数据描述
本文对上证180 的日收益率数据进行了分析，计算采用的是2008 年4 月30 日– 2010
年4 月23 日的数据，模型检验采用的是2010 年4 月26 日– 2011 年4 月27 日的数据，股票
回报采用对数收益率，即 1 ln( / ) t t t r P P− = ，其中 t P 为 t 交易日的收盘价。
115 3.2 模型分析
关于流动性风险指标t L ,为了分析的方便,在表1 中给出了t L 的描述性特征。
表1 t L 的描述性特征
均值 标准差 偏度 峰度
上证180 0.703306 0.635572 1.710895 5.850313
由表1 可以看出， t 120 L 的峰度和偏度都偏离正态分布。
流动性风险指标作为分为点回归模型中的解释变量，首先需要对其平稳性进行检验，这
时就要用到单位根检验，用EViews 软件[7]得到的单位根检验结果如表2 所示：
表2 Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on t L
ADF Test Statistic -4.5938 1% level -3.9773
5% level -3.4192
10% level -3.1322
125
由表2 可以看出，在0.05 分为点下ADF 值小于单位根检验临界值， t L 序列中不含有单
位根，为平稳序列。
因此，本文分析0.05 分位点下的参数模型，由此可以得到置信水平95%下的条件 VaR ，
本文用EViews 软件分析计算，分位点回归模型的参数估计以及拟合程度见下列各表。
130 对含滞后虚拟变量的分位点回归模型(2)，参数的具体估计结果如表3 所示：
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