不完全信息下多属性决策的证据推理方法#
江资斌，周昕*
基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金资助课题(20100161120006)；湖南省自然科学基金资助项目
(10JJ4047)
作者简介：江资斌，(1976-)，男，讲师，管理学博士，主要研究方向:决策理论与应用、智能生产管理系统
研究与开发. E-mail: jiangzibin@163.com
（湖南大学工商管理学院，长沙 410082）
摘要：针对权系数未知、属性值具有缺失的不完全信息下多属性决策问题，给出了一种基于
5 证据推理的方法。该方法通过对决策矩阵的规范化处理、不同属性下焦元的确定及评价值计
算，获得证据的基本概率分配，然后利用证据合成，并通过信任区间的计算与排序，获得整
个方案集的排序。最终，实例表明了该方法的有效性和可行性。
关键词：多属性决策；证据推理；不完全信息；排序
中图分类号：C934 TP18
 0 引言
25 在社会经济生活中，存在着大量的多属性决策问题。目前，对于完全信息下的多属性决
策问题研究已经较为完善。而在实际决策过程中，由于决策信息大多数具有不精确、不完备、
模糊等性质，加上决策者对问题认识或信息处理能力的局限性等原因，决策者往往只愿意或
只能够提供不完全信息。因此，对这类多属性决策问题的研究是当前研究的热点。Yang J B
提出了基于证据推理的递归算法，解决了信息不完全的多属性决策问题[1]，但他的方法中要
30 求的权系数是确定的。随后，Yang 和Xu 等人在前面研究的基础上，进一步提出了满足四
个公理的证据合成方法，用于指导多属性决策中决策矩阵不完全的评价与排序问题[2[[3]。
Huynh 等人对文献[1]提出的不完全信息多属性决策证据推理方法进行了改进，提出了一个
更合理和更简单的处理不完全信息的方法[4]。Wang 等人对不完全信息多属性决策问题的证
据推理算法进行了改善，使得其能有效地处理区间和未知的多属性决策问题[5]。王坚强等人
35 将文献[1][2]的方法推广到权系数不完全的多属性决策中，提出了一种基于证据推理的方法
[6]。杨善林等提出了一种基于粗糙集理论的证据获取的新方法[7]。在基于粗糙集证据理论的
多属性决策方法中，通常可根据粗糙集中属性依赖性和重要性来找出属性彼此的相对重要程
度，然后以此得出各属性的客观权重[8]。本文首先引入规范函数对决策矩阵属性值进行规范
化处理，接着利用证据推理方法对不完全信息进行处理，通过各属性焦元基本概率分配的计
40 算、证据合成及信任区间排序等一系列计算，获得整个方案的排序，以满足实际决策需要。
 1 决策矩阵的规范化处理
对于多属性决策问题，决策者通常可用决策矩阵的形式来反映决策者的偏好信息。设有
其中X ={x1,x2,L,xn}为决策方案的非空有限集合， 1 2 { , , , } m U= u u Lu 为属性的非空有
限集合，对于方案i x 按属性j u 进行测度，得到i x 关于j u 的属性值ij a ，从而构成决策矩阵
( ) ij n m A a × 45 = 。此类多属性决策问题，如果属性权重完全未知，同时可能决策矩阵中存在空
值(一般用“*”表示)的情况，则称为不完全信息多属性决策问题。
在多属性决策问题中，决策属性j u 一般分为定量和定性两种，为便于用证据推理方法，
应对决策矩阵的所有定量值进行规范化处理，确定其隶属于评价等级l
j H 的程度，其中
l∈[1,L,L−1]， L 为决策属性j u 的值域等级划分的个数。
(1) 如果ij a 是一个点值，当[ l, l 1]
ij j j ∀a ∈q q+ ， l l1
j j 50 q <q+ 时，则
l( ) ( l1 )/( l1 l)
j ij j ij j j H a = q+ −a q+ −q
l1( ) 1 l( )
j ij j ij H+ a = −H a (1)
(2) 如果ij a 为一个区间值，即[ L, U]
ij a =a a ，当l L U l1
j j q ≤a <a ≤q+ 时，则
1
1
( )
( )
2( )
l L l U
l j j
j ij l l
j j
q a q a
H a
q q
+
+
− + −
=
−
l1( ) 1 l( )
j ij j ij 55 H+ a = −H a (2)
当l L l1
j j q ≤a ≤q+ ， l1 U l2
j j q+ ≤a ≤q+ 时，则
1
1
( )
( )
2( )*( )
l L
l j
j ij l l
j j
q a
H a
b a q q
+
+
−
=
− −
1 2
2
2 1
( )
( )
2( )*( )
U l
l j
j ij l l
j j
a q
H a
b a q q
+
+
+ +
−
=
− −
l1( ) 1 l( ) l2( )
j ij j ij j ij H+ a = −H a −H+ a (3)
60 2 证据推理方法
2.1 信任区间及决策方案排序
证据推理最开始由Dempster 在1967 年提出，他通过多值映射得到概率的上下界。Shafer
对其进行了推广形成了证据推理，因此又称之为D-S 证据理论[9]。在证据理论中根据基本可
信度分配、信度函数和似真函数的定义可知Bel(⋅) 反映了证据支持命题方案的精确信息总
65 和，而Pls(⋅) 是比Bel(⋅) 更宽松的一种估计，它反映了证据不否定命题方案的信度总和。这
样[Bel(⋅),Pls(⋅)]就构成了证据支持命题方案的信任区间，它们可以分别被看作支持命题方
案的最低和最高概率边界，如图1 所示。
 图1 证据理论的信任区间示意图
Fig. 1 Trust interval 70 of evidential reasoning
根据证据理论信任区间的含义，对于两个命题方案,l k x x ，若({ }) ({ }) l k Bel x > Bel x ，
({ }) ({ }) l k Pls x > Pls x ，则说明方案l x 优于k x ，即l k x f x ；若({ }) ({ }) l k Bel x = Bel x ，
({ }) ({ }) l k Pls x = Pls x ，则说明方案l x 与k x 没有差别，即~ l k x x 。对于其他情形，可利用
下面的公式计算l x 优于k 75 x 的程度。
1 max[0, ({ }) ({ })] l k U= Pls x −Bel x
2 ax[0, ({ }) ({ })] l k U =m Bel x −Pls x
({ }) ({ }) l l l L=Pls x −Bel x
({ }) ({ }) k k k L =Pls x −Bel x
1 2 ( ) ( )/( ). l k l k 80 P x f x = U −U L +L (4)
根据文献[10] 提供的决策方案排序方法： 若( ) 0.5 l k P x f x > ， 则l k x f x ； 若
( ) 0.5 l k P x f x < ，则l k x p x ；若( ) 0.5 l k P x f x = ，则~ l k x x 。
2.2 焦元效用分配值的计算
根据证据理论的相关知识，将决策者给出的决策矩阵中属性值看作多属性决策问题中的
不同证据。所有决策方案构成的集合为一个识别框架Θ 。设每个决策属性j 85 u 下的所有焦元
为j
k F (k=1, 2,Lt,t<2n )，同时对于, l k ∀x x ∈Θ ，且l≠k，若lj kj a =a ，则认为l x 和k x 属
于同一焦元。
假设决策者对每个评价等级l
j H 的评价值( l)
j u H ，决策者对焦元j
k F 的偏好程度表示为
( j)
k U F ，根据公式(1)-(3)得到不同焦元的偏好计算如下：
90 (1) 当决策矩阵中的属性值为定量值时。若决策属性值为一个点值或为区间值，且
l L U l1
j j q ≤a <a ≤q+ ，则
( j) [ l( ) ( l) l1( ) ( l1)].
k j j ij j j ij j U F =ω ⋅ H a ⋅u H +H+ a ⋅u H+ (5)
对于决策属性值为一个区间值[aL,aU]，即第二种情况，则
( j) [ l( ) ( l) l1( ) ( l1)
k j j ij j j ij j U F =ω ⋅ H a ⋅u H +H + a ⋅u H +
l2( ) ( l2)].
j ij j 95 +H+ a ⋅uH+ (6)
在(5)和(6)式中j
ω 为决策属性j u 的权重，通常可由层次分析法或其他方法求得[11]。
(2) 当决策矩阵中的属性值为定性值时，该焦元的偏好程度为
( j) ( l)
k j k U F =ω ⋅u H (7)
同时定义焦元Θ 的偏好值为1，即U(Θ)=1。类似于证据理论基本概率分配置的定义，
 对于j 2
k ∀F ∈ Θ ，如果焦元j
k F 的偏好程度为( j)
k 100 U F ，则加权并归一化后各焦元的基本概率
分配为
( j) ( j)/ ( j)
k k k
k
m F =U F ΣU F (8)
2.3 证据合成
根据证据理论的基本知识，将决策矩阵中m 个决策属性看作证据理论的证源，根据
105 Dempster 合成法则，给出m 个证源下所有交集E(E ≠ ∅)基本概率的合成法则为
1
1 2
1 2 ( ) ( ) ( )
( )
1
m
k k
m
F F E k k m k m F m F m F
m E
Con
= =
−
Σ IL
L
(9)
其中， 1
1 2
1 2 ( ) ( ) ( ) m
k k
m
F F k k m k Con m F m F m F =∅ = Σ IL
L 。
2.4 证据推理方法的主要步骤
根据前面的内容，得出证据推理方法的主要步骤如下：
步骤1：运用公式(1)-(3)计算出各属性值隶属于评价等级l
j 110 H 的程度。
步骤2: 确定所有决策属性j u 下焦元的构成j
k F ，并根据(5)-(8)，计算每个证源的基本概
率分配。
步骤3：根据公式(9)计算综合属性下所有焦元的交集基本概率的合成。
步骤4：根据信度函数和似真函数的定义，运用以下公式确定每个决策方案i x 的
({ }) i Bel x 和({ }) i Pls x ，并构造所有据测方案的信任区间[ ({ }), ({ })] i i 115 Bel x Pls x 。
{ }
({ }) ( )
i
i
E x
Bel x m E
=
= Σ ， ({ }) ( )
i
i
x E
Pls x m E
∈
= Σ (10)
步骤5：根据(4)式，确定所有决策方案的排序。
3 实例分析
某个企业合作伙伴选择决策问题中， 经过初步筛选， 确定了五个被选企业
1 2 3 4 5 x,x ,x ,x ,x 。现在要根据企业的生产能力1 u 、指定产品的报价2 120 u 、联合开发新产品的
能力3 u 、企业文化的相融性4 u 四个指标，对这五个企业进行评价，以选出满意的合作伙伴。
表1 给出了候选合作伙伴企业指标的评价值，其中1 2 u ,u 是定量指标， 3 4 u ,u 是定性指标，
这些指标的权重未知。
125 表1 被选企业的指标值
Tab. 1 Indicator values of selected enterprises
企业 1 u 2 u 3 u 4 u
1 x 4000 50 弱 *
2 x 3000 30 * 可兼容
3 x 2000 20 强 一致
4 x 4000 * * 可兼容
5 x * 30 弱 完全兼容
 设被选企业的评价等级为五级( 1j
H ,非常差)、( 2j
H ,差)、( 3j
H ,一般)、( 4j
H ,好)和( 5j
H ,
非常好)，五个等级的评价值为( 1) 0 j u H = 、( 2 ) 0.25 j u H = 、( 3) 0.5 j u H = 、( 4 ) 0.75 j u H = 、
( 5) 1 j u H = 。假设不同属性下等价于定性评价等级l ( [1, 2,3, 4,5)
j H l∈ 的值分别对应如下：
1 H ={1000,2000,3000,4000,5000}, 2 H ={55,45,35,25,15}， 3 130 H ={非常弱,弱,一般,强,非常
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