信道容量性能的影响。
10 关键词：MIMO（多输入多输出）系统；信道容量；信道状态信息
中图分类号：TP393
 25 0 引言
随着技术的不断发展，人们希望用手机能实现更多的功能，第3 代移动技术已经不能满
足现代通讯设备的要求，如何用较少的频率资源来传输更多的信息以及抑制无线电干扰技术
成为现在人们关注的课题。近年来，多输入多输出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）
系统得到了广泛的关注，MIMO 系统可以抑制干扰、抗多径衰落，从而提高了系统的覆盖
30 范围以及通信质量[1]。在上个世纪九十年代中期，以引入了空域处理技术的MIMO 系统为
代表的多天线通信系统的到了广泛的研究，而且其编码技术方案以及信号处理技术也得到了
全面的阐述。由于MIMO 技术具有极高的频谱利用率，而且其提供的空间分集可以显著改
善无线链路性能，提高无线系统的容量和覆盖面，是第四代移动通信系统的关键技术[2]。
1 MIMO 系统模型
如图1 所示，设发射天线数为T n ，接收天线数为R 35 n ,，每一个收发天线对都为发射机和
接收机提供了一条信号传输路径。系数( , ) T R h n n 是从发射天线T n 到接收天线R n 之间的路径
增益。信道受到零均值加性高斯白噪声干扰，且每根接收天线的噪声功率2
n σ ；又假定信道
为准静态平坦瑞利衰落[3]，接收端信息状态已知。
 40 图1 MIMO 信道模型
Fig1：the channel model of MIMO
2 MIMO 信道容量分析
2.1 等效噪声方差推导
设信道为准静态平坦瑞利衰落，发射与接收两端的天线数分别为T n 和R 45 n ，信道增益表
征R T n ×n 的矩阵为H , H 中的元素为独立同分布的且均值为0、每一个元素方差为1 的复
高斯随机变量。定义信道估计矩阵为ˆH ，信道模型为[3]：
H=Hˆ +E （1）
其中E 是相应的零均值估计误差矩阵，另外ˆH 和E 中的元素都为独立同分布的复高斯
随机变量，其方差分别为ρ 2 和2
e σ ，且2 2 1 e 50 ρ +σ = 。
下面，来推导下等效噪声的方差公式。由前面的公式可以得到：
( ˆ )
ˆ
ˆ ˆ
= + = + +
= + +
= +
y Hx n H E x n
Hx Ex n
Hx n
（2）
记nˆ 为等效噪声，nˆ =Ex+n。记f =Ex。可以得出：
1
11 1 1 1 1
1 1 1
1 1
T
T
T
R RT T R
R T T R
R
R
n
i i
n i
n
n nn n n nn nn
n i i
i n
e e x e x f
e e x f
e x
=
× × ×
= ×
⎡ ⎤
= =⎢⎢⎢⎣⎡ ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎡⎢⎢⎢⎣ ⎤⎥⎥⎥⎦ =⎢⎢⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥⎥⎥ =⎡⎢⎢⎢⎣ ⎤⎥⎥⎥⎦
⎢⎣ ⎥⎦
Σ
Σ
L
M O M M M M
L
f Ex （3）
55 所以对于f 中的每一个元素都有：
 1 1 2 2
1
T
T T
n
k k k kn n ki i
i
f e x e x e x e x
=
= + +L+ =Σ （4）
所以k f 的方差2
f σ 为：
2 ( )( )
1
nT
*
f k k ki i ki i
i
σ ε f f ε e x e x ∗
=
⎡ ⎤
= ⎡⎣ ⎤⎦= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
Σ （5）
因为2 ( )
ki kj e ε ⎡⎣e e ⎤⎦=σ δ i − j ， 当且仅当i= j时， 2
ki kj e ε ⎡⎣e e ⎤⎦=σ ； 当i≠ j时，
0 ki kj 60 ε ⎡⎣e e ⎤⎦= 。
所以可以继续得到：
2 2 2
1 1
nT nT
ki ki i i e i i T e
i i
σ ε e e ∗ ε x x∗ σ ε x x∗ nσ
= =
=Σ ⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦= Σ ⎡⎣ ⎤⎦= f (6)
因为f 中的每一个元素都是独立同分布的，故可以得到，等效噪声方差为：
2 2 2 2 2
ˆ n T e n σ =σ +σ =nσ +σ n f (7)
其中e 65 σ 为信道估计误差。
2.2 信道容量
假设连续信道的加性高斯白噪声功率为N (w)，信道的带宽为B (Hz)，信号功率为S (w)，
则该信道的信道容量为[4]：
( ) 2 C Blog 1 S bit/s
N
= ⎛⎜ + ⎞⎟
⎝ ⎠
（8）
设信道为准静态平坦瑞利衰落，接收端完全知道CSI，且发射与接收天线数分别为T 70 n 和
R n ，完全信道状态信息条件下MIMO 信道的容量公式为[5]：
{ H 2 }
2 log det( / ) nR n C=ε ⎡⎣ I +HPPH σ ⎤⎦ (9)
其中2
n σ 为高斯白噪声的方差，H 为信道矩阵。
所以只要得到功率分配矩阵P ， 就能求得信道容量。而
1 2 ( , , , )S S P=diag P P L P =I ,其中min( , ) T R 75 S= nn 。所以等功率分配时，系统的信道
容量为：
{ ( H 2)}
2 log det / nR n C=ε ⎡⎣ I +HH σ ⎤⎦ (10)
由前面所讲的完全信道状态信息条件下的MIMO 信道容量公式，即公式（8），和不完
全信道状态信息条件下的等效噪声方差公式，即公式（7），可以得到不完全信道状态信息
80 条件下MIMO 单位带宽信道容量的公式：
{ ( H 2 2 )}
2 log det / ( ) nR T e n C=ε ⎡⎣ I +HH nσ +σ ⎤⎦ （11）
其中， T n 为发送天线数目， R n 为接收天线数目， 2
e σ 为估计误差的方差， 2
n σ 为高斯白
噪声的方差，H 为信道估计矩阵，ε {•}表示求期望。
 3 MIMO 信道容量的仿真
85 下面我们通过一系列的仿真，得出信噪比和信道估计误差不同条件对MIMO 信道容量[6]
性能的影响。
图2 给出了接收天线与发送天线都为3，信道估计误差分别为2 0.01 e σ = 、2 0.001 e σ = 、
2 0.001 e σ = 和2 0 e σ = 时得到的仿真图。
0 2 4 6 8 10 12 14 16
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Capacity/bits/s/Hz
SNR/dB
=0
=0.0001
=0.001
=0.01
2
e σ
2
e σ
2
e σ
2
e σ
90 图2 同一估计误差条件下，信道容量与信噪比关系图
Fig2 for the same error of channel estimates, the relationship of SNR and capacity
仿真结果表明：MIMO 系统的信道容量随信噪比的增加而不断增大，且当信道估计误
差较小时，MIMO 信道容量随信噪比的增加几乎呈线性增大，当信道估计误差较大时，信
95 噪比越大，信道容量增加的速度越缓慢。
图3 给出了接收天线和发送天线都为3，信噪比分别为10dB、15dB、20dB 时得到的仿
真图，目的是为了得到在同一信噪比条件下，信道容量与2
e σ 的关系。
2
e σ
10-4 10-3 10-2 10-1 100 0
1
2
3
4
5
6
7
Capacity/bits/s/Hz
SNR=10dB
SNR=15dB
SNR=20dB
2
e σ
图3 同一信噪比条件下，信道容量与2
e σ 的关系图
100 Fig2 for the same SNR, the relationship of the error of channel estimates and capacity
 仿真结果表明：在同一信噪比条件下，信道估计误差较小时，信道容量几乎没有变化，
随着信道估计误差逐渐增大，不完全信道状态信息条件下的MIMO 信道容量开始明显减小。
当给定的信噪比越大，MIMO 信道容量与信道估计误差的关系图曲线位置就越靠上，即同
一信道估计误差条件下，MIMO 信道容量随信噪比增大而增大，因此也进一步验证了第一
105 种讨论情况。同时我们还可以看出，在同一信噪比的情况下，信道估计误差越小的信道容量
越大。
4 结论
本文给出了如何计算不完全信道状态信息条件下MIMO 信道容量的方法， 并对MIMO
信道容量做了仿真，仿真结果表明在不完全信道状态信息条件下，MIMO 信道容量随信噪
110 比的增加而增大，随信道估计误差的增大而减小。