球面4R 机构四位置综合的类型图方法
王光明，史立新**
作者简介：王光明，（1986-），男，硕士研究生，主要研究方向为机构学、模具CAD/CAM 一体化技术
通信联系人：史立新，（1967-），男，副教授，主要研究方向为机械设计理论、机械动力学. E-mail:
xinlishi@njau.edu.cn
（南京农业大学工学院，南京 210031）
5 摘要：球面4R 机构的四位置综合，由于计算量大，求解质量难以预先把握和控制，且具有
实质上的的盲目性，妨碍了其在工程技术领域中的推广和应用。本文在对美国加州大学欧文
分校所提出的类型图概念进行剖析的基础上，利用球面Burmester 理论的相关原理，基于
Matlab 平台，提出了类型图及其缺陷甄别的一种实现方法,将Burmester 曲线综合出的全部
球面4R 机构进行属性分类，使得设计者可以在众多可行的机构综合方案中迅速定位到满足
10 工程需要的机构，很大程度上解决了球面4R 机构四位置综合中的复杂性和盲目性难题。通
过算例，本文证实了该方法的有效性和实用性，为解决球面4R 机构四位置综合问题提出了
新方法和新思路。
关键词：机械设计及理论；球面4R 机构；Burmester 曲线；类型图
中图分类号：TH112.1
 0 引言
球面4R 机构即所有转动副轴线汇交于球心的铰链四杆机构（如图1 所示），研究其四
位置综合问题在工程上有着重要的理论和实际意义，如基于球面4R 机构的风扇摆动装置[1]，
35 以及应用于汽车转向的新型机构[2]，等等。一般来说，解决该类综合问题的基本方法是绘制
Burmester 圆心曲线和圆点曲线。Burmester 理论指出[3]，任意两个圆心曲线点（或圆点曲线
点）可以产生一组满足导引要求的四杆机构。将其推广到球面4R 机构中，该结论仍然成立。
但由于球面圆心曲线（或圆点曲线）本身计算求解的复杂性以及选择的盲目性，综合过程较
之平面问题有很大的难度。为此，美国加州大学欧文分校Robotics and Automation 实验室在
40 其综合软件SphinxPC 中提出了类型图（Type Map）的概念[4]，以解决传统综合方法的不足。
由于国内在此方面的研究较少，对于类型图法亦缺乏相应的认识，本文通过独立探索，在
Matlab 平台下对其实现算法展开了研究，并提出了相应的缺陷甄别算法。
 图1 球面4R 机构
Fig. 45 1 Spherical 4R linkages
1 球面Burmester 曲线的求解
1.1 球面上刚体位置的给定
如图2 所示，刚体在单位球面上的位置PT规定如下：取刚体上一点P 作为参考点，其
球坐标为(θ,ϕ)，同时令过点P 且与纬度线重合的某正向弧线段0 50 PT （由z 轴正向朝负向观
察逆时针为正）绕极轴轴线OP逆时针旋转Δκ 角度到PT，则刚体位置唯一确定，表达为
P(θ,ϕ,Δκ ) 。需要注意的是，与一些专业文献不同，为了更符合人们对于球面的表达习惯，
本文对于球坐标的描述引入了地理学中“经纬度”的概念，即分别将图2 中的球坐标θ 、ϕ
表述为经度、纬度，而标线PT的位置也是基于纬度线给出，但在实际的计算中，仍然遵循
55 经典方法，即PT的位置由经度线正向（Z 轴正向）逆时针旋转得到。
图2 刚体位置的规定
Fig. 2 Position definition of rigid body
60 给定四组刚体位置，求解一球面4R 机构，使得该机构的连杆部分在运动过程中经过前
述给定位置，即本文所述四位置综合问题。
1.2 圆点曲线和圆心曲线的生成
1.2.1 求极点ij P 和镜极ij k P −
对于任意两个给定位置i i PT 和j j P T ，首先分别求得两大圆弧段i j PP 和i j TT 的垂直平分
 65 面，则二者交线（极轴）与球面的交点即极点Pij ，如图3 所示。需要指出的是，作为极点
的ij P 有两个（对应于极轴的两端），只需任取其一。对于镜极ij k P − ，顾名思义，即极点ij P
关于大圆弧段ki kj P P 在球面上的镜像，亦可通过作图法求得（图3 中未标出）。
图3 极点的求解
70 Fig. 3 Pole point solving
1.2.2 球面镜极4R 机构的旋转
例如，由极点和镜极12 24 1 34 1 13 P P P P − − − − − 构成的球面镜极4R 机构如图4 所示，其中，
12 24 1 P P − 为主动杆， 12 13 P P 为机架。当主动杆旋转角度ω 到位置
24 1
'
12 P P −
时，4R 机构处于新的
位置
24 1 34 1
' '
12 13 P P P P − −
− − − 。则大圆弧段
24 1
'
24 1 P P − − 与
34 1
'
34 1 P P 75 − − 的垂直平分面与球面相交于点
CP ，该点即圆点。需要注意的是，在图示位置处圆点CP 有两个，它们关于球心对称（即
位于极轴的两端）。另外，因球面镜极4R 机构具有两种分支构形（即12 24 1 34 1 13 P P P P − − − − −
和
34 1
''
12 24 1 13 P P P P − − − − − ），由二者所得圆点坐标均是可用解。
80 图4 球面镜极4R 机构的旋转
Fig. 4 Rotation of spherical 4R linkages constructed by pole and mirror pole points
1.2.3 圆点曲线与圆心曲线的生成
在图4 中，当角度ω 以一定步长在区间(0,360°) 内连续取值时，所获得的一系列CP 点
 85 即构成球面Burmester 圆点曲线。由于圆心曲线与圆点曲线有严格的对应关系，可参考平面
Burmester 理论作类似的推广[5]，本文不再赘述。
Burmester 曲线的求解过程中涉及较多的图形学计算，如球面几何元素的镜像、旋转、
求交等，本文首先给出了关于点、线、面的表达约定，并编写了各类图形学计算函数，将其
封装到专门的绘图函数包中，在求解过程中直接调用。
给定刚体在球面上的四个位置1 4 90 P~P（表1），本文在Matlab 下生成的Burmester 曲
线如图5 所示：
表1 给定刚体位置
Tab. 1 Specified orientations
位置 经度θ 纬度ϕ 转角Δκ
P1 10° 0° -4°
P2 38° -19° 1°
P3 76° -10° 4°
P4 130° 15° 5°
95
图5 计算得到的Burmester 曲线
Fig. 5 Burmester curve the computer acquired
100 1.3 Burmester 曲线的规整与分组
在前述求得的圆心曲线和圆点曲线中，有两点问题需要注意：其一是虚数解的处理问题。
由于镜极4R 机构的主动杆未必能够整周旋转，故而在某些给定角度ω 下会出现虚数形式的
圆点坐标解，这些解在综合中会引发错误，需要进行剔除，即在Maltab 下通过调用函数tf =
isreal(A)进行判别。其二则是分组问题。
105 以圆心曲线为例，每个圆心点均存在一个与之对应的即关于球心的镜像，为了彼此相区
别，需要对其进行分组。本文给出的分组方法是：以直角坐标面y−o−z为分割面，将其
两侧的圆心点分别移到组G0 −a（ x 轴正向）和组G0 −b（ x 轴负向）中。同理，亦将圆
点分别移到组G1−a（ x 轴正向）和组G1−b（ x 轴负向）中。需要注意的是，在分组过
程中不应当破坏圆心曲线点与圆点曲线点之间的对应关系。
 110 2 类型图的生成原理
2.1 球面4R 机构的类型划分与表达
平面4R 机构的类型划分方法（如杆长判别定理及尺寸空间模型）难以直接应用于球面
4R 机构，否则会得出错误的结论。为了与本文既往所研究的平面类型图法相一致，本文将
球面4R 机构划分为曲柄摇杆、摇杆曲柄、双曲柄、Grashof 双摇杆、0−0双摇杆、0 −π 双
115 摇杆、π − 0 双摇杆和π −π 双摇杆等八种基本类型[6-7]。如规定符号：
1
2
3
4 2
T
T
T
T
γ α η β
γ α η β
η β γ α
π η β γ α
= − + − ⎧⎪
= − − + ⎪⎨
= + − − ⎪⎪
⎩ = − − − −
则机构类型判别如表2 所示，其中，“+”表示大于0，“-”表示小于0，针对每一行
中Ti 的符号，需同时取括号外的组合或同时取括号内的组合进行判别，例如，双曲柄机构
的判别条件为1 2 3 4 TT T T = − − + + 或1 2 3 4 TT T T = + + − − 。
120
表2 类型划分方法
Tab. 2 Mechanism type classification
序号 机构类型 T1 T2 T3 T4
1 曲柄摇杆 + (-) + (-) + (-) + (-)
2 摇杆曲柄 + (-) - (+) - (+) + (-)
3 双曲柄 - (+) - (+) + (-) + (-)
4 Grashof 双摇杆 - (+) + (-) - (+) + (-)
5 0−0双摇杆 - (+) - (+) - (+) + (-)
6 0 −π 双摇杆 + (-) + (-) - (+) + (-)
7 π − 0 双摇杆 + (-) - (+) + (-) + (-)
8 π −π 双摇杆 - (+) + (-) + (-) + (-)
基于类型图表达的需要，本文建立起不同机构类型与颜色标识之间的关系映射，即用不
125 同的颜色标识不同的机构类型，如图6 所示（图中符号pi 即表中字母π ）。
图6 机构类型的颜色标识
Fig. 6 Mapping between mechanism type and color
 130 2.2 类型图的绘制
任选一组圆心曲线和圆点曲线（如组G0 −a和组G1−a），对组G0 −a中的圆心点进
行编号（为了直观反映球面4R 机构固定铰链点的空间变化趋势，本文不建议对圆点进行编
号）。假定该组中有N 个圆心点，任选其中一个为起始点，赋予编号1，然后寻找与其球面
距离最近的另一点赋予编号2，如此反复迭代，直到所有圆心点被赋予编号1~N。
135 在绘图平面上，构建一个坐标刻度为N×N的矩形网格阵列，则任意一个网格所确定
的整数坐标值(i, j) ，均对应于由编号为i 和j 的两圆心点及其相应的圆点所构成的球面4R
机构，即构成网格与所获得机构之间的映射关系。在这种映射之下，根据前一小节中所给出
的类型划分方法，将各网格填充以代表其机构类型的颜色，即构成类型图，针对图5 所示的
Burmester 曲线，其类型图如图7 所示。需要指出的是，由于球面4R 机构的4 个铰链点
140 A−B−C−D（见图1）均可以从圆心曲线或圆点曲线的两个分组中的任意一组进行选择，
故而一共有24 =16种情形，对应于16 种类型图，本文所编写的Matlab 程序允许用户在GUI
中对其进行切换，这里不再赘述。
图7 计算获得的类型图
145 Fig. 7 Type map the computer acquired
3 缺陷甄别算法
类型图虽然在整体上反应了机构解的分布规律，降低了综合的盲目性，但并非所有由
Burmester 理论综合所得机构均是可行机构，例如存在回路、分支和顺序缺陷等。本文对缺
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