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由（1）（2），可得对称情况下，专利k 的价值k V 的递推方程为 *2 * 1 ( ) [ (0) (0)] k k k k k rV x n k x V V + = + − − （3） 设企业研发项目服从泊松过程，可将预期收益用研发成功的“校正概率”表示。由企业 i 即时成功概率为 i i x x + r ，且多家企业投资的独立性，得成功的“校正概率”为 i i x x + r Σ Σ ， 由此专利k 的价值现值(1) k 120 V 可表示为 * * 1 1 (1) ( 1) ( 1) ( 1) m i j k i k j k j V v k l l n j x r r= + = +r n j x − − − + = + + − + Σ Π （4） 命题得证。 辅助命题2：在无联盟情况下，当k≤m时，有(1) 0 k V > ， (0) 0 k V > ，以及* 0 k x > ， 专利k 的价值现值(1) k V 的递推公式为 * 1 1 * 1 [ ( 1)] ( ) [ (1) 2 ] ( ) k k k rv k l n k x V l r r r n k x + + + − − + − + + − 。 证：由式（4）有(1) 0 k V > 。假设* 0 k 125 x = ，那么专利k 将不会产生，且k +1 阶段也不 会出现，则此时有1 2 (0), (0), , (0) 0 k k m V V V + + L = 。但同时由于(1) 0 k V > ，那么各企业必 在第k 阶段投资，因此有* 0 k x > ，这与* 0 k x = 是矛盾的。因此* 0 k x > 必然成立。因为(1) 0 k V > ， 必有(0) 0 k V > 。根据“校正概率”，如果在第k +1 阶段的专利竞赛中，所有n−k家企业研 发失败，此时专利权人k 获得的净收益为( 1) k L v k l r π − − − = ，概率为 * 1 ( )k r r n k x+ + − 。如 果第k +1 阶段专利竞赛创新成功，专利权人k 获得的净收益将等于1 (1) 2 k V l r + 130 + ，即是在 1(1) k V + 的基础上，少缴纳并多收取一份许可费，概率为 * 1 * 1 ( ) ( ) k k n k x r n k x + + − + − 。基于上述讨专利k 的价值现值(1) k V 表示为 * 1 1 * 1 [ ( 1)] ( ) [ (1) 2 ] (1) ( ) k k k k rv k l n k x V l V r r r n k x + + + − − + − + = + − （5） 命题得证。 http://www.paper.edu.cn - 5 - 中国科技论文在线 135 2.3 有联盟情况下专利竞赛模型 在有联盟情况下，由联盟对后续专利的使用收取许可费率，并分配给联盟成员。设s < n 为组建联盟的必要专利数量，即当有s 项专利出现时联盟形成，联盟发起者为率先取得专利 的s 家企业。联盟发起者使用专利无需向联盟缴纳许可费率，而后续专利使用向联盟缴纳的 许可费率同为0 p<l <v。同时联盟规则包含回授（grantback）条款，即要求被许可人必须 140 将与联盟相关的专利无偿交付给联盟。这就使非联盟发起者无法独立阻碍后续专利使用，并 无法向其收取许可费率。联盟收取许可费率后将在s 家联盟发起者间平分。 辅助命题3：在联盟形成的情况下，尚未获得专利的n−s家企业在创新成功前研发强 度将维持在x% 的水平上。 证：设函数i (1) k V% 为专利k 出现后的对专利权人k 价值现值， i (0) k V% 为专利k −1出现之 145 后且专利k 出现前，专利k 对企业i 的期望价值。那么，在专利联盟形成之后，联盟外所有 未取得专利的企业无论在哪一阶段研发成功，都将获得净收益现值(1) p v l V r − % = ，研发项目 对各企业的价值V（% 0）满足 0 max{[ (1) (0)] ( )} x rV = x V −V − c x % （% ） % % % % （6） 根据式（6）右边最大化一阶条件可得到，各企业的最优研发强度 (1) (0) 2 x V V − = % % % ，则 (0) (1) ( ) p 2 v l V V c x x r − 150 % = % − ′ % = − % （7） 将式（7）代入式（6），得到此时最优研发强度x% 恒定且满足 2 2 ( ) 0 p x% + rx%−v−l = （8） 命题得证。 辅助命题4：有联盟的情况下，当k<n时， 1 (1) p (1) (1) k k V v l vV V r r + − % = < <% < % 。 155 证：在专利数量已达到联盟形成的临界点时，专利s 的价值现值为 (1) p s V v n s x l r s x rr − = + + % % % （9） 式（9）由两部分构成，前一项是专利权人s 使用专利得到的收益现值。后一项为联盟 对其分配的预期许可收益，n−s家被许可人缴纳的许可费被s 家联盟成员平分，每一家被 许可人研发成功的校正概率为 x x + r % % ，成功后使用专利须持续缴纳金额为p l 的许可费。 160 以式（7）、（9）为逆向递归的起点，考虑联盟形成前（k≤s）各阶段专利竞赛。在 第k 阶段竞赛开始时，研发项目对企业i 的价值i (0) k V% 满足 1 (0) max{ [ (1) (0)] [ (0) (0)] ( )} ik i i i i j i i i k k k k k k k k x rV x V V X V V c x + = − + − − % % %% % % % % % （10） 式（10）中ik x% 为企业i 在阶段k 研发强度， jm X% 为其他n−k家企业在阶段k 研发强度 之和。该式含义与式（1）一致。根据式（9）右边最大化一阶条件可得到，企业i 的最优研 http://www.paper.edu.cn - 6 - 中国科技论文在线 发强度* (1) (0) 2 i i i k k k x V V − = % % % 。并由对称假设， i* * k k x% = x% ， i (0) (0) k k V% =V% ， i (1) (1) k k 165 V% =V% ，据 此可得 (0) (1) (*) (1) 2* k k k k k V% =V% −c′x% =V% − x% （11） 由（10）（11），可得(0) k V% 的递推方程为 *2 * 1 (0) ( ) [ (0) (0)] k k k k k rV x n k x V V + % = % + − % % − % （12） 设专利k 的价值现值(1) k 170 V% ，在第k +1阶段的专利竞赛中，如果所有n−k家企业研发 失败，此时专利权人k 获得的净收益为v r ，概率为 * 1 ( )k r r n k x+ + − % 。如第k +1 阶段专利竞 赛创新成功，专利权人k 获得的净收益将等同于1(1) k V + % ，概率为 * 1 * 1 ( ) ( ) k k n k x r n k x + + − + − % % 。专利k 的 现实价值(1) k V% 可递推表示为 * 1 1 * 1 ( ) ( ) (1) (1) ( ) k k k k rv n kx V V r r n k x + + + + − = + − % % % % （13） 显然有(1) s V v r % > 。同时由式（13）， (1) k V% 是v r 与1(1) k V + 175 % 凸组合。据此命题得证。 辅助命题4 说明：随着专利数量逐渐接近联盟形成的临界值后出现专利的价值现值将高 于之前的专利，且联盟形成前的专利价值现值恒大于联盟形成后。这是由于联盟形成前研发 成功可获得联盟收益，且后出现的专利须承担的时间折扣比之前的专利小。 3 均衡模式分析 180 3.1 无联盟情况下的均衡模式 命题1：在无联盟情况下，研发竞赛博弈从阶段1 开始到阶段m+1结束，各企业均衡 研发投入逐渐降低，直至阶段m+1各企业研发投入都为0，专利m+1不会出现。 证：只需证明在k<m的情况下， * * k k1 x x+ > 恒成立即可。下面通过反证法证明。 首先，由* * k1 k x x − ≤ 必然可推得* * k k1 x x + ≤ 成立。假设* * k1 k x x − ≤ ，则根据(0) k V 定义，此时 必有1(0) (0) k k V V − 185 ≤ 。即如果各企业在阶段k 的均衡研发投入不少于阶段k −1，则说明研 发项目在阶段k 的价值不小于在阶段k −1的价值。并由（2）可知，此时必有1(1) (1) k k V V − ≤ 成立。根据式（5）可得 * 1 * [ ( 2)] ( 1) [ (1) 2 ] (1) ( 1) k k k k rv k l n k x V l V r r r n k x − − − + − + + = + − + （14） 根据式（14）可进一步推得 * 1 [ ( 2)] 2( 1) (1) (1) k k k rv k l nk x l rV rV r r − − − 190 + − + ≤ ≤ (15) 由（2）（3）整理后可得 http://www.paper.edu.cn - 7 - 中国科技论文在线 *2 * * * * * 1 1 2 (1) ( ) [ (1) (1) 2 ] 2( ) [ ] 0 k k k k k k k k k x rx rV n kxV V l n kxx x l r r + + + − + − − + + − − − = （16） 再对式（5）整理可得 * 1 1 ( ) [ (1) (1) 2] [ (1) ( 1) ] k k k k n k x V V l rV v k l r r + + − − − − + = − (17) 进一步设* * k k1 x x + > ，并将式（17）中* k 1 x + 置换成* k 195 x 代入式（16）可得 *2 * * * * * 1 2 { [ ( 1) ] 2( ) } 2( ) [ ] 0 k k k k k k x rx rv k l n kxl n kx x x r r + − − + − + − + − − ≤ （18） 由式（15），式（18）中[ ( 1)] 2( )* [ ( 2) ] 2( 1)* (1) k k k rv k l n k x l r v k l n k x l rV r r r r − − − − + − < + − + ≤ ， 由此式（18）可改写为 *2 * * * * 1 [ 2 (1)] 2( ) [ ] 0 k k k k k k x rx rV n kx x x+ 200 + − + − − < （19） 再根据式（2）、（3）对式（19）左侧第一项进行变换可得到 * ** * 1 1 ( ) [ (0) (0)] 2( ) [ ] 0 k k k k k k n k x V V n k x x x + + − − + − − < （20） 由于* * k k1 x x + > ， 1 (0) (0) k k V V+ > 必然成立，那么式（20）必不成立。因此* * k1 k x x − ≤ 时 * * k k1 x x + > 不成立，必然有* * k k1 x x + ≤ 。进一步可证，对任意k≤m， * * k k1 x x + ≤ 不可能成立。 根据辅助命题1、2， * * 1 0 m m x x+ > = 。如果任意一个阶段k 出现* * k k1 x x + 205 ≤ 的情况，则后续各 阶段大于0 的均衡研发投入水平必然与上阶段持平或逐步上升，由此有* * m1 m x x + ≥ ，而这与 辅助命题1、2 是矛盾的。综合上述推导，在k<m的情况下， * * 学术论文网Tag：代写论文 代写代发论文 代写职称论文 |
