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综合以上公式(9)、(12)和(15)，修正后的贷款投资组合优化模型如下： 目标函数：min X T X p σ σ 2 1 2 1 2 = max 2 / 2 p p u = ER − A×σ 约束条件：s.t. p R × X = ER X T × I = 1 225 ER (c) VaR p p ≥φ −1 ×σ − (17) 由公式(17)可以看出，修正后的模型是以既定收益率条件下组合风险最小化和商业银行 的投资效用最大化为双目标函数，以收益率既定于期望值ERP 和VaR 风险价值控制为双约 束条件。 230 双目标函数的运用，使本模型将商业银行的投资决策不是局限在某个范围，而是一个确 切的投资组合比例点，具有实际操作意义；双约束条件的结合，使得商业银行在遵循金融管 理当局的监管要求的同时，较好的控制了资金运用的风险。 2.5 贷款投资组合优化模型建立的特色 （1）本模型中的投资组合比例X T 中的对无风险债券的投资比例xf 与对其它贷款的投 235 资比例约束不同：xf 可以取负数值。当xf>0 时表示商业银行应该购入债券，当xf<0 时表示 商业银行应该发行债券以融资。模型通过对变量的这一约束的放宽，体现了商业银行目前可 以通过对债券的运用，将其投资总额拓宽，而不再局限于其自有资金。 （2）本模型通过建立双目标函数和双约束条件，可以为具有一定风险偏好的商业银行 确定出一个具体的投资比例，具有一定的实际意义。 240 3 应用实例 3.1 投资组合有效边界的计算 假设某商业银行拥有3 个企业若干年贷款收益率的历史数据，和各种无风险资产的平均 收益率。其中风险贷款收益率的协方差矩阵如下： ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = -1.45 1.29 1.62 -1.27 1.48 1.29 1.34 -1.27 -1.45 σ 245 假设组合的期望收益率矩阵为： R =[0.056340,0.092360,0.122840,0.0235] 其中，无风险收益率的期望值f R =0.0235； 根据σ 、R 计算逆矩阵σ −1 ： σ −1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 54.23 12.06 39.55 19.96 7.30 12.06 78.35 19.96 54.23 (18) 250 另外，记贷款风险溢价矩阵R′，则： R′ =[0.056340-0.0235, 0.092360-0.0235,0.122840-0.0235] =[0.032840, 0.068860, 0.099340] (19) 将计算结果(18)、(19)代入2 1 (R′Tσ −1R′) 计算得： 2 1 (R′Tσ −1R′) =1.057605 (20) 将f 255 R =0.0235 和计算结果 (20)代入公式(10)： 2 1 (R 1R ) ER R T p f p ′ ′ − = σ − σ （ ） =（ p ER -0.0235）/1.057605 整理得： p ER =1.057605 p σ +0.0235 (21) 260 3.2 VaR 约束线的计算 取置信度c=95%，则在VaR=0.05 的情况下，标准正态分布反函数值φ −（1 95%）=1.65， 代入ER (c) VaR p = φ −1 ×σ − 得： p ER =1.65σ×（-0.05） (22) 公式（22）是VaR 直线的表达式。 联立公式（21）（22）计算p 265 ER 的上限： ⎩ ⎨ ⎧ =1.65 − 0.05 ER =1.057605 +0.0235 p p p p ER σ σ 计算得： p max ER =0.1547 3.3 VaR 约束线的计算 鉴于对效用函数系数A 的取值反映了不同的风险应对态度，这里对A 取三次值作以对 270 比： （1）设系数1 A =22，则将1 A =22 代入组合优化模型(17)，求得组合期望收益率 p ER =0.0481、p σ =0.0233，列入表2 第1、2 行1 列；求得投资组合对商业银行的效用 U=0.0421，列入表2 第3 行1 列；求得商业银行在最优投资决策中对企业1、2、3 的贷款比 例1 X =0.2053、2 X =0.0518、3 X =0.1438，对无风险债券的投资比例f R =0.5990，列入表2 275 第4~7 行第1 列。 （2）设2 A =11，同(1)的求解过程，求得组合期望收益率p ER =0.0961、组合方差 p σ =0.0686、组合效用U=0.0702，对企业1、2、3 贷款比例分别为1 X =0.6059、2 X =0.1530、 3 X =0.4245，应发行债券的比例为0.1833（ f R =-0.1833），并将结果列入表2 第2 列。 （3）设3 A =5，同理求得组合期望收益率p ER =0.2115，由于p ER =0.2115 超过VaR 约 束的p ER 的上限p max 280 ER =0.1547，所以此时的投资组合选取投资组合风险最高点。同(1)的 求解过程，得组合期望收益率p ER =0.1547，组合方差p σ =0.1241，组合效用U=0.1162，应 对企业1、2、3 贷款比例分别为1 X =1.0950、2 X =0.2763、3 X =0.7672，发行债券比例为1.1385 （ f R =-1.1385），并将结果列入表2 第3 列。 285 表2 参数A 的不同取值下的投资结果对比 Ai 项目 A1 A2 A3 （1） （2） （3） 组合收益率ERp （1） 0.0481 0.0961 0.1547 组合方差σp （2） 0.0233 0.0686 0.1241 商业银行效用U （3） 0.0421 0.0702 0.1162 企业1 的贷款比例X1 （4） 0.2053 0.6059 1.0950 企业2 的贷款比例X （5） 0.0518 0.1530 0.2763 企业3 的贷款比例X3 （6） 0.1438 0.4245 0.7672 无风险债券的比例Rf （7） 0.5990 -0.1833 -1.1385 由表2 可知，当A 取值越小时，投资者对风险的回避程度越小，商业银行更倾向于以 更大的比例投资于风险贷款项目，而减少对收益率较小的无风险投资；但是由于VaR 的约 束，即使极度的风险偏好者最大也只能借入1.1385 倍的原有资金对风险贷款进行投资。当 290 然，由于风险价值VaR 的取值不同，加之各个贷款投资组合特征不同，具体得到的VaR 约 束程度也不尽相同。 3.4 计算结果的特色分析 （1）不同于现有的投资组合优化模型，本文在商业银行的投资组合中将债券投资f R 作 为组合项目之一：在表示商业银行的风险偏好程度的系数A 取A1 时， f R >0，表示商业银 行应该以0.5990 倍的自有资金投资于债券；在系数A 取A2、A3 时， f 295 R <0，表示商业银行 应该分别以0.1833 倍、1.1385 倍的自有资金发行债券以获得融资。 （2）本文在组合优化原则的基础上，结合监管机构确定的风险价值约束（本实例中 VaR=0.05），并使用效用函数中A 的不同取值A1、A2、A3 分别模拟了商业银行对风险的不 同偏好程度。因此通过本模型可以具体计算出商业银行对每个项目的投资比例，即X1、X2、 300 X3、X4 的取值，而不是一个有效率的投资范围。 4 结论 第一，本文考虑到商业银行可以通过对债券的运用，获取无风险的投资和融资机会，从 而对商业银行的有效边界作以修正。初步修正后的有效边界是以未考虑商业银行投资于债券 时的有风险投资组合有效边界为基础，与无风险资产的再组合而形成的最优投资组合集合。 305 第二，在初步修正后的有效边界上，加入对风险的约束以充分考虑到商业银行的风险承 受能力（即VaR 约束），形成了最终修正后的有效边界。 第三，选取效用函数作为商业银行投资的目标函数。当效用曲线与有效边界的切点在商 业银行风险承受范围以内，则依据切点代表的投资组合确定最优的投资组合；反之，则依据 有效边界收益率最高点代表的投资组合确定最优的投资组合。 310 第四，利用本文的模型，在实践中获取相应的参数后，可以为商业银行的投资决策提供 定量分析，计算出最优的企业贷款比例、无风险债券的发行或投资比例。 学术论文网Tag：代写代发论文 论文发表 代写实证论文 |
