基于VaR 约束和效用最大化的商业银行投资组合优化
刘艳萍，尹晓婷，付莹，王蕾*
基金项目：教育部人文社会科学研究青年基金项目(09YJC790024)；中央高校基本科研业务费专项资金资助
(DUT10ZD107，DUT10RW107)；大连理工大学大学生创新性实验计划项目(2009344)
作者简介：刘艳萍，（1970-），女，副教授，主要研究方向：银行资产负债组合优化. E-mail: sylyp008@dlut.edu.cn
5 （大连理工大学管理与经济学部，辽宁 大连 116024）
摘要：在全球性金融危机影响仍在持续的背景下，研究商业银行的投资组合优化有助于控制
信贷风险、提高决策水平，从而防范金融危机。本文借鉴传统的Markowitz 投资有效边界，
进一步考虑到目前商业银行对债券的运用和VaR 风险约束，修正投资有效边界；以商业银行
效用最大化、既定风险水平下收益最大化为双目标得到投资组合优化模型，确定具体的最优
10 资产负债比例。本文的特色与创新是通过充分考虑商业银行资产负债管理在债券运用上的发
展现况，对投资有效边界进行修正，使得投资组合优化结果更为合理有效。
关键词：银行经营管理学；投资组合优化；无风险投资；风险价值(VaR)；效用最大化
中图分类号：F830
15 Optimization of Bank Investment Portfolio Utility
Maximization Based on the Restraint of VaR
Liu Yanping, Yin Xiaoting, Fu Ying, Wang Lei
(Faculty of Management and Economics, Dalian University of Technology,
LiaoNing DaLian 116024)
20 Abstract: On the background of the impact on global financial crisis still going on, the study of
optimization of bank investment portfolio has great significance to control credit risk and promote
decision and prevent financial crisis. In this paper, Markowitz H. Portfolio selection is taken as the
theoretical background and further revised by considering the risk-free bond assets in banks and
constraint of Value at Risk (VaR); in addition, determine the specific investment ratio of the best
25 portfolio by establishing a model of optimization of bank investment portfolio, which takes both
utility maximization and profit maximization as a bi-objective. The main future and innovation of
this paper is that the revised efficient frontier offers a more rational and effective optimization for
commercial banks, taking the development of commercial bank management on bonds into
consideration.
30 Keywords: Commercial bank management; Optimization of investment portfolio; Risk-free
investment; Value at Risk (VaR); Utility maximization
0 引言
近年来，我国商业银行的资本结构和投资环境发生了巨大的变化：一方面，商业银行可
35 以通过发行次级债券充足资本，扩展其可操作的资金范围，如2004 年6 月23 日中国人民银
行和银监会发布的《商业银行次级债券发行管理办法》，使得许多商业银行通过发行次级债
券以改善资本状况[1]；另一方面，为防止信贷比例过高、降低风险，商业银行逐渐成为国债
市场的主要需求者[2]。商业银行对债券的发行和投资的运用，对其投资决策产生了实质性的
影响，而先前的研究很少考虑这方面变化。
40 对商业银行投资组合优化的研究，大致可以分为以下几方面：
（1）针对商业银行投资的风险约束的研究。迟国泰等[3](2002)引入贷款组合的VaR 作
为约束，以收益率的最大损失的形式，而不是以收益额的形式反映了风险价值VaR。陈学
 华等[4](2003)用Expected Shortfall 作为风险约束，给出了MEAN-ES 模型，对投资组合进行
优化,然而该模型的缺欠是需要大量的样本进行更多的实证研究。
45 （2）针对投资决策的目标函数方面的研究。马志卫等[5](2006)通过蒙特卡洛模拟,实现
了收益和风险的同步优化，建立多目标决策模型。杨中原[6](2010)以银行资产的单位收益最
大为目标函数，同时对贷款集中度进行约束，建立基于单位风险收益最大化的贷款组合优化
模型。该方法同时考虑了风险和收益对组合决策的影响，具有一定的现实意义。
（3）针对商业银行发行次级债券和投资债券的研究。刘川巍[7](2004)指出由于债券市场
50 的不完善和银行自身的不足，商业银行投资的债券具有利率风险替代信用风险的问题，并对
此提出了改进措施。刘懿、罗希[8](2009)，余隆炯、刘红[1](2008)分别利用实证研究得出结论：
次级债券的发行对于商业银行形成了一定的市场约束。
综上所述，本文在已有研究的基础上对商业银行的投资有效边界进行修正，考虑到商业
银行可以投资于无风险债券和利用债券进行无风险融资的实际情况，并引入风险价值VaR
55 对风险加以控制，最终利用效用函数作为商业银行的目标函数，定量分析出商业银行的最优
投资组合。
1 商业银行投资组合优化原理
1.1 问题描述
投资组合是投资主体将资金投放的所有项目的集合。普通的投资组合是由各种股票、债
60 券、金融衍生产品等构成的[9]，投资主体通常包括个人、企业、金融机构等投资工具的持有
者。然而商业银行作为一个特殊的投资主体，在投资项目上主要局限于不同风险的企业贷款。
商业银行在建立投资组合时遵循组合优化的基本原则是，在期望收益既定的条件下使商业银
行所承担的组合风险最小，或是在组合风险既定的条件下使期望的收益率最大[10]。商业银
行投资组合优化即是将商业银行投资的所有项目作为一个投资组合，对组合整体的收益和风
65 险按照组合优化基本原则进行权衡。
在现有的投资组合优化模型中，商业银行的投资组合只是包括了对不同企业贷款的风险
投资项目，没有把无风险投资和无风险借债作为投资组合的项目之一。本文考虑到这一实际
进展，建立模型使商业银行的投资组合不仅包括企业贷款，而且包括无风险债券的发行和对
国债（近似无风险）的投资，从而对现有的商业银行投资组合有效边界进行修正。
70 1.2 投资组合有效边界的确定思路
现有的商业银行投资组合有效边界将商业银行可用于投资的资金限定在一定额度内，而
且投资资产仅限于有风险的企业贷款项目。近年来随着商业银行业对债券运用的新进展，这
种有效边界已经不再适用。本文借鉴了投资组合理论[11]确定证券市场组合的思路，对商业
银行贷款有效边界作出修正。
75 如图1 所示，曲线OGB 是商业银行在未考虑债券运用情况下的投资组合有效边界[12]，
它是只考虑商业银行进行有风险贷款时的有效边界。然而现代商业银行既投资于风险贷款资
产，又投资于无风险债券资产，而风险贷款资产应该是符合资金利用效率的，即风险贷款资
产组合应该在曲线OGB 上，因此本文基于Markowitz 的投资有效边界基础上对投资组合有
效边界进行修正。修正后的商业银行投资组合有效边界有两个特点：其一，有效边界是在风
80 险贷款最优组合（位于曲线OGB 上）的基础上与无风险资产的再组合形成的最优投资组合
集合，增加了商业银行可以对无风险国债进行投资的考虑；其二，商业银行贷款、投资的资
 金额度不再限定在其资本金、存款负债等资金来源的一定范围之内，增加了商业银行对无风
险债券运用的考虑。
p σ
ERp
Rf
G
B
O
M
A
85
图1 初步修正后的投资组合有效边界
为简单起见，假设商业银行发行债券的利率与债券投资的利率相等，并且无风险。坐标
轴的纵坐标表示投资组合收益率，横坐标表示投资组合收益率的方差（用来衡量风险）。
90 ERP 表示商业银行持有的资产组合期望收益率，这个投资组合由无风险资产和有风险资产组
成，其中无风险资产设为Rf（0，r f ），有风险资产取风险贷款有效边界OGB 上任意一点
A，设为（ERA, A σ ）； P σ 表示对应的投资组合风险。假设商业银行投资于有风险资产A
的比例为x（x ≥ 0），投资于无风险资产Rf 的比例为（1-x）。那么，商业银行资产组合期
望收益率ERP、组合风险P σ 可以分别由资产A、Rf 的期望收益率和风险表示如下：
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
= × + × − × + − ×
= × + − ×
P A A f rf
P A f
x x x ER r x
ER x ER x r
σ 2 2 σ 2 2 σ 2 (1 ) cov( , ) (1 )
(1 )
95 （1）
其中， cov( , ) A f ER r =0，
f r
σ =0。
整理公式（1）可得：
P f
A
A f
P r
ER r
ER × +
−
= σ
σ
（2）
由公式（2）可看出，组合收益率P ER 是组合风险P σ 的一次函数，其中
A
A f ER r
σ
− 和
f r 为常数，这说明现代商业银行的最佳投资组合（ P σ ， P 100 ER ）可以通过对无风险资产Rf
和风险贷款有效组合A 的投资比例的调整得到，并且这些投资组合随着投资比例的不同在
收益-风险坐标平面上表现为一条以Rf 为起点的射线RfA。当投资组合在风险贷款有效组合
A 点以外的RfA 射线上，即x>1 时，表明商业银行通过发行无风险的债券获得额外资金投
资于风险贷款资产A 上，也反映出商业银行具有很高的风险偏好。
105 通过调整无风险资产Rf 与不同风险贷款资产的投资比例，可以在坐标面上得到无数条
与射线RfA 类似的投资组合边界，表现为以Rf 为起点、交于曲线OGB 不同点的射线。然而
在所有的射线中，当射线与曲线OGB 相切时最优。由图1 可以看出，在相同的风险水平下，
RfG 具有更高的收益率水平。
综上所述，初步修正的商业银行投资组合有效边界为射线RfG。
 110 1.3 VaR 约束的控制思路
Philippe Jorion[13]（2001）对风险价值VaR 做出的权威解释是：“在一定概率水平下（置
信度），某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失。”
将VaR 转化为具体的函数形式，假设置信度为c，投资组合的实际收益率表示为p ER ，
则有[14]：
ob(ER VaR) c p 115 Pr < − ≤ 1 − （3）
迟国泰等[15] (2002)根据中心极限定理，将VaR 约束转化为：
( ) p p VaR = φ −1 c ×σ − ER （4）
代表VaR 约束的曲线L 在收益-标准差坐标轴中表现为一条直线，如图2 所示。
p σ
ERp
有效边界RfG
Rf
N
-VaR
G
VaR 约束线L
120
图2 VaR 约束下的投资组合有效边界
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