波导色散对多模波导传输性能的影响
花仕海，任子晖**
作者简介：花仕海，（1981-），男，硕士研究生，主要从事无线通信和光纤通信研究
通信联系人：任子晖，教授，主要研究方向为机电设备的状态监测和故障诊断、煤矿电网谐波等. E-mail:
ren_zicumt@126.com
（中国矿业大学信息与电气工程学院，江苏 徐州 221008）
5 摘要：结合模式群分集复用技术，单独激励和检测多模波导内的所有模式，通过对波导色散
和色散因子的分析，研究了波导色散对矩形波导通道内传输性能的影响。通过推导，给出了
仅在波导色散影响下多模波导通道传输速率的表达式，同时分析了传输速率与波导结构的关
系，对现有多模波导通道性能的提高具有一定参考价值。
关键词：波导色散；脉冲展宽；模式群分集复用
 25 0 引言
由于互联网、电子商务、多媒体以及数据传递的发展，人们对信息的需要量呈指数式的
增长。光作为载波与电波相比，可以使信息容量增加几个数量级。其中，限制光纤通信发展
的两大瓶颈是光纤的损耗和色散。随着光纤放大器的发明和使用，光纤的损耗问题可以通过
对信号脉冲的放大得以解决。于是，色散问题就显得尤为突出[1]。色散会导致在光纤中传输
30 的光脉冲产生变形，并且系统传输距离越长，容量越大，光纤色散造成的影响也就越大，从
而影响通信系统的容量。
如果从信息论的角度出发，多模光纤或波导实际上比单模光纤或波导的通信能力强，因
为它能够导波更多模式[2]。然而，波导通道内传输的所有模式经常被同时激励，存在于各个
模式之间的模式间色散就会带来脉冲展宽，进而降低了传输通道的通信能力。在多模波导通
35 道中，由模式间色散引起的脉冲色散是限制传输速率的主要条件。如果选择性地激励光源的
某些特定模式，然后再加载到波导通道，那么模式间色散就能够被消除，传输通道的通信能
力也因此得到提高，这就是所谓的模式群分集复用技术。Erni 和Lenz 等人提出的新型光多
输入多输出(O-MIMO)传输通道方案就利用了这项技术[3]。
既然利用模式群分集复用技术可以选择性激励和检测光的不同模式，那么我们就可以把
40 多模波导中的每个模式作为单独模式来处理，也就是把模式间色散平衡掉，则剩下的是材料
色散和波导色散，情况与单模传输相似。本文通过对波导色散以及归一化频率和色散因子的
 解析形式和数值分析，研究了波导色散对多模矩形波导通道内传输性能的影响。
1 波导色散
这里的波导色散是多模的波导色散，不再忽略不计，而且对脉冲展宽或光脉冲群时延的
45 影响也是很显著的。波导色散是模式本身的色散，即对于波导某一模式本身，在不同频率下，
传播相位常数β 不同，群速度不同，引起色散。波导内发生波导色散是因为模式的相位传
播常数β 相对于波长来说是一个跟波导尺寸有关的函数。
假设n1,n2分别表示波导芯层和包层的折射率，k1,k2是相应介质i 中的波数，
i 0k =k ·2π / λ ( k0 代表真空中光的波数)。为了分析波导色散，我们可以引入归一化常数b 来
50 表示相位传播传输β :
2 2
2 2
2 2 2 1 2
1 2 1 2
k k k b(k k)
k k k
b
k
β β
= ≈ →β
− −
≈ + −
− −
（1）
这里2 1β ∈[k ,k ] 和b∈[0,1]。对泄露型波导来说，归一化频率V 大约为0 k w 2Δ ，其中
w 为矩形波导的横截面宽度。参数Δ 是波导芯层和包层的相对折射率差，可表示为：
2 2
1 2 1 2
2
1 1 2
n n n
n
n
n
− −
Δ = ≈ (2)
现在，光脉冲沿长度为L 的波导传播的群时延g 55 τ 可以通过一些估算[4]记为：
2
0 0 0
· 1 ( )
g
L d Ln d Vb
c dk c dV
β
τ ⎧ ⎫ ≈ +Δ ⎨⎩
= ⎬⎭
(3)
方程(3)中的第二项对波导内光脉冲的群时延其作用，为方便理解，在图1 中画出了一
些矩形波导内模式的d(Vb)/dV 导数变化曲线。从图中我们可以得知在归一化频率V 确定
时，高阶模式通常拥有较大的群时延。另外从图上我们还能观察出，随着归一化频率趋向无
60 穷大，所有模式的d(Vb)/dV 导数都会趋向于单位1，故此当归一化频率无穷大时，根据方
程(3)任何模式的群时延会得到一个期望值1 0 Ln / c .
图1 不同x
pq E 模式的d(Vb)/dV 导数变化曲线
Fig.1 Plots of the parameter d(Vb)/dV
 两个不同频谱间的群时延差可以描述成为：
2
2 1 2
2
0 00
g 1 · () ( )
g m w
d L dN N NVdVb D D
c d c dV
L
d
τ
δτ δλ δλ δλ
λ λ λ
⎧ ⎫
= ⎨ − ⎬ =
⎩
−
= +
⎭
(4)
Ni=dki/dk0=ni+k0dni/dk0 (5)
其中称作群指针，Dw 是波导色散常数，常常写成以下形式：
2 2
1 2 2
2 2
0 0 0 0
· ( ) · ( ) w
D N N d n d
c dV
V Vb Vb
c d
V
λ λ V
Δ
≈
−
70 =− − (6)
图2 11
Ex 模式的b 和导数d(Vb)/dV 和V[d2(Vb)/ dV2]随归一化频率V 的变化
Fig.2 Derivatives of 11
Ex mode
75 从(6)中我们可以发现波导色散参数Dw 取决于波导本身，如波导结构和材料折射率差值
。虽然波导色散中包含有材料特性，但即使没有材料色散的发生，波导色散依然存在。参
数V[d2(Vb) /dV2]我们称之为色散因子。图2 描绘了波导内模式11
Ex 的色散因子关于归一化
频率的函数，该波导横截面为正方形，芯层和包层折射率分别为1.5 和1.485，波长
λ = 0.85μm 。
如果我们采用Marcatili 估算方法[5]，能够满足波导内仅存在主要模式11
80 Ex 单模情况的波
导结构应该满足波导的宽度1 d=4.9·λ/n≈2.78μm，那么相应的最大归一化频率为
2 2
0 1 2 4.3483 m V =kd n −n = 。从图2 可以看出，在V<Vm 单一模式区域内色散因子一直保持
正数而波导色散参数Dw 小于零。然而，波导参数（如结构）或者波长的微小变化就能改变
归一化频率V，进而波导色散也就随之而变。
85 一旦用于生产波导的化合物材料和载波波长选定，我们就能够很容易地得到材料色散
Dm ，因此波导内总的模内色散D= Dm+Dw就取决于波导色散。这也是为什么本文对波导
色散感兴趣的原因。
 2 对多模波导传输速率的影响
通常波导都拥有较大的横截面，通道内会有更多的模式导波。每一个模式的最大传输速
90 率可以借助于波长和群速度色散参数D（特别指波导色散）来表示：
2
0 0
1 2 /( | |
4
Bmax = πc λ D L) （7）
其中波导色散参数可以直接由方程(6)计算所得，如果其他波导的其他如折射率参数保
持不变，波导色散参数只取决于波导的结构大小。方程(7)给我们提供了单模传输速率的数
值计算标准。
95 我们知道，随着波导宽度不断增加会有更高阶模式的存在，波导通道也会导波更多模式
的光波。我们首先忽略相邻模式之间的模式间色散效应，将所有能够导波传播的模式单独分
离开来分析。图3 显示了x 轴极化的波导x
Epq 内每个单一模式的最大传输速率曲线图，波导
结构与图1 所规定的一样。
100 图3 小型波导内单模的最大传输速率曲线
Fig.3 Maximal bit rate of single mode
当波导宽度小于等于2.05μm时仅仅有主模或基模存在。当波导尺寸变大时，E21,E12 或
者更高阶模式就会存在。正如从图3 中所看到一样，对于每一个模式来说都有一个转折点，
105 在这里传输速率超出了它的期望值。这是因为波导色散参数的第二阶导数V[d2(Vb) /dV2]
在这时会趋向于零，就像在图2 中表现的那样。随着波导宽度d 和归一化频率V 的增长，
波导色散参数的二阶导数负向增长，当波导足够大时其二阶导数的绝对值又开始减少。因此，
当波导尺寸增加时，跟色散参数成反比的传输速率也会随着增加。
引入方程(7)，我们就可以得到多模波导通道的最大累积速率，其结果可以记为：
0 0
1
2 /( | | )
4
i
tot i
c DL
B μ π λ
= 110 = Σ （8）
这里μ代表可以导波的模式总数。模式确定，在一定波导尺寸内其相应的传输速率也可
以计算得出，进而可以得到该多模通道内的累积传输速率。
图4 表现了多模波导通道内的累积传输速率情况，波导结构大小与图3 中的完全相同，
 这样该波导通道内便总共存在最多13 个导波模式。我们可以看到，如果波导尺寸增加，由
115 于有更多模式或模式群组通过整个通道，多模波导通道的传输速率会提高。当矩形波导宽度
为7.5 μm 时，波导通道里总共存在13 个导波模式，该多模波导通道的最大传输速率为
42.015Tb/s，这个结果远远高于只选择13 个相同模式群组（最高阶模式24
Ex 的速率为
0.822Tb/s）来激励。
120 图4 小尺寸多模波导通道的最大传输速率
Fig.4 Limitations on the bit rate of small dimension waveguide
3 导数分析
波导色散分析中最重要的一环就是V·b 这个乘积的导数计算，在本文中作者采用了有限
125 差分法(Finite difference approximation)。设定V·b 的一阶导数和二阶导数分别为：
3 1
1 2
d(Vb) ' f -
dV
f
h h
= f =
+
（9）
2
2 1 1 2 2 1 3
2
1 2 1 2
d(Vb) f '' 2 h f (h h)fhf
dV h h h h
− + +
= =
+
（10）
其中离散值h1=V(w)−V(W−h),h2=V(W+h)−V(w), 函数
f1= f(w−h)=V(w−h)b(w−h)
130 f2= f(w)=V(w)b(w)
f3= f(w+h)=V(w+h)b(w+h)
由于有限差分法的限制，导数计算过程中在差分步长h 的选择上一定慎重，因为它很可
能会影响最终计算结果。图5 给出了不同步长h 下对主模式11
Ex 产生的不同结果。
 135 图5 不同步长选择下Vb 的一阶和二阶导数结果
Fig.5 Derivatives of Vb for single mode with different step
4 结论
本文通过经过对波导色散以及色散因子的分析，研究了波导色散对多模波导通道内传输
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