马克维茨证券投资组合模型的优化研究
-基于交易费用的优化研究
郑研，陈立新*
作者简介：郑研，（1988-），男，主要研究方向：技术经济。
通信联系人：陈立新，（1952-），女，教授，主要研究方向：投资与金融、国际金融、产业经济。E-mail:
zhengyan19880613@sohu.com
5 （辽宁工程技术大学研究生学院，辽宁 葫芦岛 125105）
摘要：典的马克维茨模型利用均值和方差从收益和风险两个方面对证券投资组合进行描述，
但由于马克维茨投资组合模型的假设过于严格，使它在中国证券市场的应用上存在一定的局
限性。本文在经典马克维茨模型的基础上，对模型中不符合中国证券市场的理想化假设进行
修正，将交易费用限制这一条件引入模型，实现对马克维茨模型的优化，并运用拉格朗日乘
10 数发对优化后的模型进行求解，最终得到了在不同优化背景下的新的数学模型。
关键词：投资组合；模型；优化
中图分类号：F83
 0 引言
1952 年美国著名经济学家马克维茨发表了论文《投资组合选择》，首次将人们在投资
30 行为中最为关心的收益和风险两个因素，进行了数量化的描述和表示，开辟了将数学分析和
统计方法应用到金融领域的先河，这篇著名的论文也标志着现代证券组合理论的开端。1 在
随后的几十年里，众多的国内外学者对该模型进行了深入的研究和探讨 “单因素模型”、
“多因素模型”、“CAPM 模型”以及“APT 模型”等不断被提出，极大地丰富和发展了
现代证券投资理论。2
35 然而，由于马克维茨模型过于严格的假设，导致其在现在的应用中有一定的局限性，3
本文就是通过运用运筹学的有关优化的相关理论，对马克维茨模型的风险和收益进行优化度
量，并修正马克维茨模型中关于交易费用的有关假设，以使其更符合我国股票市场的实际。
1 马克维茨投资组合模型
马克维茨在《投资组合选择》一文中将证券组合选择的过程概括为两个阶段：第一阶段
40 从观察和经验出发得到各种可投资证券未来的预期收益率、风险等，第二阶段则从各证券的
 预期表现出发得到一组最优的投资组合。马克维茨正是针对第二阶段提出了证券组合投资的
模型，将收益率、风险等参数进行了数量化的表示和度量，并对模型进行了求解分析。4
1.1 模型假设
马克维茨在建立证券投资组合模型时，对模型提出了一下8 个 假设：
45 （1）证券市场是完全有效的
（2）证券投资者都是理性的
（3）组合中证券的收益率可视为随机变量并服从正态分布，其性质由均值和方差来描
述
（4）各种证券之间具有一定的相关性，这种性官渡可以有收益率的协方差来度量
50 （5）每一种资产都是无限可分的
（6）税收和交易成本等可忽略不计
（7）单一投资期
（8）不存在卖空机制
1.2 模型参数的估计与度量
55 假设ri 是投资者在第i 种股票投资的收益率，该值为随机变量，ui 是第i 中股票的预期
收益率， ij σ
代表ri 和rj 的协方差，wi 是投资者在第i 种证券上的投资比例，则投资组合的
收益率为Σ i i r *w ，其中wi 是有投资者确定的随机变量，因此Σ i = 1 w ，则投资组合的
预期收益率为= Σ i i E w *u ，投资组合的风险度量值方差为
 1.3 马克维茨证券投资组合基本模型
60 根据马克维茨证券投资组合模型，投资者在选择股票组合时，主要目标是预期收益率最
 其中W=(W1，W2，…Wn)T 为投资组合的权重向量，Ω 为协方差阵，E 为给定的预期
70 收益率，R=（u1，u2…un）T 为为组合的预期收益率向量，F=（1，1，1，…1）T。6
 2 证券投资组合模型的优化及求解
2.1 模型优化
在马克维茨证券投资组合模型中，一个被忽略的问题就是股票市场的交易成本，也就是
投资者在进行股票投资是需支出的交易费用，而交易费用是投资者实际进行投资的一个必要
75 考虑的因素，忽略交易费用，则在投资中会产生无效投资，并且，随着交易费用的增加，投
资者所进行的股票交易也会减少。
现假设投资者在投资股票的过程中，买入股票和卖出股票都需支付交易费用，假设买入
时需支付的交易费用为交易金额的α 倍，卖出时需支付的交易费用为交易金额的β 倍。假
设一股票K 的在ti 时刻的价格为Pki，则在ti 时刻买入该股票是所需支付的金额为ki ki p −αp ，
假设股票在tj 时刻的价格为pkj，则在tj 时刻卖出该股票所获得的收益为kj kj 80 p − βp 。因此，
可以计算出股票在（ti，tj）这一段时间里的收益率为
 下面计算考虑了交易费用之后的证券投资组合的收益率和方差。假设投资者选取了n
种股票构成投资组合，并且第k 种股票的投资比例为wk，则投资组合在（ti，tj）这一段时
间里的收益率为：Σ=
 其中，这里的ij σ 表示了考虑了交易费用后的收益的协方差。
这样，我们就得出了考虑了交易费用后的投资组合改进模型：
 将上述模型改写为矩阵形式：
min ΣWT ΩW (4)
st. FTW = 1
0 1 R =WT R
95 其中W=(W1，W2，…Wn)T 为投资组合的权重向量，Ω 为考虑了交易费用之后的协方差
阵，R0 为给定的预期收益率，R1=（u1，u2…un） T 为为组合的预期收益率向量，则
 2.2 模型求解
本文使用拉格朗日乘数法进行模型的求解，首先构造拉格朗日函数：
 将1 2 λ λ 的值代入（8）式，就可得出加入交易费用后给定收益条件下最优权重向量：
 115 =
3 实际算例分析
现选择我国股票市场上的5 只股票，并设当前买入股票时的税率α = 0.003 ，卖出股票
是的税率为β = 0.005 ，其收益率R 服从正态分布，通过计算这5 只股票的预期收益率为
R1=（0.441,0.253,0.298,0.151,0,316），通过计算预期收益率的协方差矩阵为：
 0.007 0.004 0.006 0.001 0.003
0.006 0.004 0.004 0.003 0.001
0.019 0.012 0.004 0.006 0.002
0.017 0.009 0.011 0.004 0.002
0.028 0.016 0.017 0.006 0.020
120
当设定预期收益率R0=0.20 时
将R1， Ω 和R0 的相关值带入W 的计算公式中，可得到W 的矩阵：
W=(0.27，0.18，0.20，0.10，0.25)
上面的数据表明，当预期收益率一定时，投资者会自动将资产投资于收益率较高的股票，
125 同时，该只股票的风险也较高，表明了投资者为获取一定的利润而愿意承受一定的风险。
4 结论
本文给出了将交易费用这一限制条件定量化引入马克维茨模型后的新的证券投资组合
模型，使新的模型更加符合中国证券市场的实际，为投资者进行投资决策提供更为有效的参
考。经典的马克维茨模型在理想的假设下精确地描述了证券市场的实际，而通过将交易费用
130 这一限制条件定量化的引入模型中，便可以得到更为符合中国证券市场实际的证券组合投资
模型，为投资者进行投资决策提供更为有效的参考。然而，马克维茨投资组合模型的优化研
究依然存在很多问题亟待解决，大量的假设和影响证券收益的因素难以定量化处理，如完全
市场性、投资者理性、宏观经济政策出台对股价的影响等；此外，如何对优化模型开发出有
效的快速算法进行数值求解也是一个很有价值的课题方向。我相信随着证券投资理论的发展
135 和计算机软件等工具的不断开发和应用，马克维茨证券组合投资模型一定能得到更好的优化
和改进，从而在证券投资中发挥更大的应用价值。
[参考文献] (References)
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